应用数学讲座(模糊数学)1

模糊数学1模糊概念与模糊集合1模糊关系与模糊矩阵2模糊综合评判32模糊聚类分析431965年，美国California大学控制论教授L.A.Zadeh发表了论文“FuzzySets,InformationandControl”,从而开创了模糊集合论，模糊数学由此诞生。一.模糊概念与模糊集合4一般说来，某个问题中，讨论的对象是有范围的，记所论对象的全体为集合U，显然，U总是非空的，U称为论域.例1现在我们假定讨论的对象为如下八人：a，男，75岁；b，女，40岁；c，男，35岁；d，女，30岁；e，男，25岁；f，女，20岁；g，男，15岁；h，女，10岁.论域记为：hgfedcbaU,,,,,,,一.模糊概念与模糊集合5在此论域上，“男人”这一概念的内涵(按生理学标准界定)是清晰的，其外延(适合“男人”这一概念的一切对象)也是清晰的，可记为Cantor集（普通集合），因此，“男人”是一清晰概念。然而在此论域上来讨论“青年人”这一概念，哪些人是“青年人”？只能模糊的非惟一的回答，我们无法用一个Cantor集表达该概念的外延，因此，“青年人”是一模糊概念.为了表达模糊概念的外延，就产生了模糊集合（FuzzySets）.一.模糊概念与模糊集合6模糊集合不仅指出含有哪些元素，而且还要指出各元素隶属该集的程度.如果nxxxU,,,21，~A是一模糊集，~Axi的程度为)(~iAix（1)(0~iAx），)(~iAx称为隶属度，则采用Zadeh的记法可将~A记为：nnxxxA2211~还可以表示为向量：))(,),(),((~~~21~nAAAxxxA.一.模糊概念与模糊集合7例2论域U同例1，记模糊集青年人~A.在U上，要表达出“青年人”这一模糊概念，就要说明哪些人在多大程度上属于~A，我们给出一种青年人~A：hgfedcbaA1.05.0119.08.07.00~上式意指：a不属于~A，e属于~A，b属于~A的程度是0.7等等，并非普通算式.一般地，所谓论域U上的一个模糊子集~A，就是给定一个映射10,),(~UxxA.称)(~xA为~A的隶属函数.模糊子集~A可统一记为UxAxxA)(~~一.模糊概念与模糊集合8一.模糊概念与模糊集合9隶属函数)(~xA完全确定了模糊集~A.对任意的Ux，有下述定义：i）0)(xΦΦ空集；ii）1)(xUU全集；iii）)()(~~~~xxBABA等集；iv）~~~~BABA子集v）)(1)(~~~xxAAAcc补集；vi）)(),(max)()()(~~~~~~~~xxxxxBACBABAC并集；vii）)(),(mim)()()(~~~~~~~~xxxxxBADBABAD交集.一.模糊概念与模糊集合10例3设54321,,,,xxxxxU为五名大学生之集合，已知U上表示“数学能力强”的模糊集54321~2.04.015.08.0xxxxxA和表示“计算机能力强”的模糊集54321~7.04.03.06.05.0xxxxxB，则表示“或数学能力强或计算机能力强”的模糊集为5432154321~~7.04.016.08.07.02.04.04.03.016.05.05.08.0xxxxxxxxxxBA表示“又数学能力强又计算机能力强”的模糊集为5432154321~~2.04.03.05.05.07.02.04.04.03.016.05.05.08.0xxxxxxxxxxBA一.模糊概念与模糊集合11一.模糊概念与模糊集合12模糊集合满足幂等律、交换律、结合律、吸收律、分配律、复原律、对偶律、定常律传递律.设~A是一个模糊集，对任意]1,0[，则普通集合)(~xxAA称为~A的截集.例4设54321~2.04.015.08.0xxxxxA，则.,,,,137.039.031xxAxAxA例5设论域RU（实数域），R上的一个模糊子集~A的隶属函数为22~)(xAex，则4ln4ln5.025.02xxexAx5.0A的特征函数为].4ln,4ln[,0];4ln,4ln[,1)(5.0xxxA一.模糊概念与模糊集合13二.模糊关系与模糊矩阵14设YX是集合X与Y的笛卡尔积集，若R是YX的一个普通子集，则它确定了X与Y的一个普通关系，仍记为R.当Ryx),(时，称yx与满足关系R，记为xRy.例6考察,401,70,9,8,400,65,9,8YX，X与Y的笛卡尔积集为)401,400(),70,400(),9,400(),8,400(),401,65(),70,65(),9,65(),8,65(),401,9(),70,9(),9,9(),8,9(),401,8(),70,8(),9,8(),8,8(,),(YyXxyxYX)9,9(),8,8(),(yxyxR是笛卡尔积集YX的一个子集，此处R表示了X与Y的一种“=”关系，当Ryx),(时，yx.若~R是YX的一个模糊子集，其隶属函数为),(),(~YyXxyxR，则它确定了X与Y的一个模糊关系，仍记为~R.若yx与在),(~yxR程度上满足关系~R，记为yRx~.二.模糊关系与模糊矩阵15二.模糊关系与模糊矩阵16例7YX同例6，考察X与Y之间的“大约相等”这一模糊关系~R，如果认为，98,7065,401400，1.0)8,9()9,8(,3.0)70,65(,9.0)401,400(~~~~RRRR从而给定)401,400(9.0)70,65(3.0)9,9(1)8,9(1.0)9,8(1.0)8,8(1~R由于模糊关系~R是一个模糊子集，故模糊关系~R的运算及性质与模糊集的运算及性质相同.二.模糊关系与模糊矩阵17例如，),(),(~~yxyxSR和分别是YX的模糊关系~~SR和的隶属函数，则以)],(),,(max[),(~~~~yxyxyxSRSR为隶属函数的模糊关系称为~~SR与之并，记为~~SR.设有限集mxxxX,,,21与nyyyY,,,21之间的模糊关系~R的隶属度为),(~jiRijyxr称nmijrR~为YX上的模糊关系矩阵，简称为模糊矩阵.在这种情形下，模糊关系~R可用模糊矩阵~R来表达.设nmijrR~为YX上的模糊关系~R之模糊矩阵，]1,0[，令.,0;,1)(ijijijrrr称布尔矩阵nmijrR)(为模糊矩阵~R的截矩阵，布尔矩阵R代表的普通关系（仍记为R）称为~R的截关系.二.模糊关系与模糊矩阵18例8,401,70,9,8,400,65,9,8YX，~R同例7，即)401,400(9.0)70,65(3.0)9,9(1)8,9(1.0)9,8(1.0)8,8(1~R设~S是YX上的模糊关系“小很多”，我们给出模糊矩阵~R和~S如下：9.000003.0000011.0001.01~R，09.0119.01.06.0017.003.015.03.00~S，二.模糊关系与模糊矩阵19则有10000100001100111.0R，10000100001000012.0R，01111000110010007.0S，…二.模糊关系与模糊矩阵20二.模糊关系与模糊矩阵21在有限论域XX上的模糊关系~R可用模糊方阵nnijrR~来表达，此时，模糊方阵1~~)(kkRRt叫做模糊方阵~R的传递闭包，可以证明，必有nkkRRt1~~)(.如果模糊方阵nnijrR~中有jiijiirrr,1，则模糊方阵~R称为相似模糊矩阵，相应的模糊关系~R称为相似模糊关系，此时，可以证明)(,)(~~nkRRtk.二.模糊关系与模糊矩阵22若ijkjiknkjiijiirrrrrr)(,,11,则nnijrR~称为模糊等价矩阵，相应的关系~R称为XX上的模糊等价关系.可以证明，U上相似模糊关系~R的传递闭包1~~)(kkRRt必是模糊等价关系，当U有限时，相似模糊矩阵~R的传递闭包)(,)(~~nkRRtk必是模糊等价矩阵.二.模糊关系与模糊矩阵23设mxxxX,,,21，nyyyY,,,21，lzzzZ,,,21，模糊矩阵nmijqQ~表达YX上的模糊关系~Q，模糊矩阵lnjkrR~表达ZY上的模糊关系~R，则模糊矩阵lmjkijnjrqRQ)(1~~表达了的ZX上的一种模糊关系，称之为~Q与~R的合成，记为~~RQ.二.模糊关系与模糊矩阵24当~R是XX上的模糊关系时，记.,~1~~~~2~RRRRRRnn1~~)(kkRRt称为~R的传递闭包.二.模糊关系与模糊矩阵25例9设400,65,9,8X，模糊矩阵100001000011.0001.01~R表达XX上的模糊关系~R=“大约相等”，容易验证矩阵~R是模糊等价矩阵，关系~R是XX上的模糊等价关系.三.模糊综合评判26模糊综合评判是应用模糊数学方法对所论对象的多种特性进行综合,从而将这些对象进行排序，或者按某种方法从论域中选出最优对象.模糊综合评判又称为模糊综合决策.模糊综合评判的一般方法如下.三.模糊综合评判27第一步:确定因素集nuuuU,,,21.因素集又称为指标集，它的元素是研究对象的n种因素或指标，一般都是很明确的.第二步:确定评判集mvvvV,,,21.评判集又称为评语集、评价集、决策集等，该集的元素个数和名称由评判者根据实际问题确定.第三步:确定模糊评判矩阵mnijrR.三.模糊综合评判28在对研究对象做模糊多因素综合评判之前，先要对每个单因素做模糊评判.由于模糊评判的评判集是模糊的，对单因素的模糊评判是评判集mvvvV,,,21上的模糊子集，设对单因素iu的模糊评判为nirrrufimiii,,2,1),,,()(21，三.模糊综合评判29上述n个模糊评判诱导出VU上的一个模糊关系~R，其隶属函数为),(),(~VvUurvujiijjiR~R的模糊关系矩阵mnijrR称为模糊评判矩阵.因为一旦已知RVU,,三要素，就可以对各种对象进行综合评判，所以称),,(RVU为模糊综合评判模型.三.模糊综合评判30第四步:综合评判.在得到评判模型),,(RVU之后，只得到对单因素的模糊评判.对研究对象做模糊综合评判还要将各个单因素的模糊评判做信息集中.由于模糊评判的评判集是模糊的，模糊综合评判也应该是评判集mvvvV,,,21上的一个模糊子集),,())(,),(),((2121~~~~mmYYYyyyvvvY三.模糊综合评判31综合评判~Y依赖各个单因素的权重，而这组权重是因素集nuuuU,,,21上的模糊子集，记为),,,(21~nxxxX，用取大、取小的合成运算，可以有一种模糊综合评判mjrxyyyyRXYijinijm,,2,1),(),,,,(121~~.三.模糊综合评判32第五步:最大可能评判如果pmyyyy,,,max21，那么认为综合评判的最大可能是py.四.模糊综合评判实例33