专题-数列(教师)

专题-数列抓住5个高考重点重点1数列的概念与通项公式1.数列的定义2.通项na与前n项和nS的关系：112111,1...,,,2nnnnnnnnSnSaaaaaSSSSn3.数列的一般性质：（1）单调性；（2）周期性-若*(,)nknaankN，则{}na为周期数列，k为{}na的一个周期.4.数列通项公式的求法：观察、归纳与猜想[高考常考角度]角度1已知数列{}na满足*434121,0,,nnnnaaaanN，则2009____,a2014____,a解析：主要考查对数列中项数的分析处理能力，2009503431,aa2014100721007250410aaaa角度2已知数列{}na的前n项和为29,nSnn第k项满足58,ka则k（）A.9B.8C.7D.6解析：当1n时，118aS；当2n时，1210nnnaSSn，故*210,nannN由58521087.59,8kannn，故选B重点2等差数列及其前n项和1.等差数列的通项公式：*1(1),(),(,)nnmaandaanmdmNmn2.等差数列的前n项和公式：211()1(1)22nnnaaSnanndanbn，,ab为常数3.等差数列的性质与应用：23243,,,,...pqstnnnnnnpqstaaaaSSSSSS也成等差数列4.等差数列前n项和的最值：（1）若0d，数列的前几项为负数，则所有负数项或零项之和为最小；（2）若0d，数列的前几项为正数，则所有正数项或零项之和为最大；（3）通过2nSanbn用配方法或导数求解.5等差数列的判定与证明：（1）利用定义1nnaad，（2）利用等差中项122nnnaaa，（3）利用通项公式,,napnqpq为常数，（4）利用前n项和2nSanbn，,ab为常数[高考常考角度]角度1在等差数列{}na中，3737aa，则2468aaaa__________解析：由等差数列的性质知246846372()2()74aaaaaaaa.角度2已知{}na为等差数列，其公差为2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为na的前n项和，*nN，则10S的值为（）A．110B．90C．90D．110解析：∵2739,2aaad，∴)16)(4()12(1121aaa，解之得201a，∴101091020(2)1102S.故选D.角度3设等差数列na的前n项和为nS,若111a,466aa,则当nS取最小值时n等于（）A．6B．7C．8D．9解析：设该数列的公差为d，则461282(11)86aaadd，解得2d，所以22(1)11212(6)362nnnSnnnn，所以当6n时，nS取最小值.选A角度4已知数列na满足对任意的*nN，都有0na，且23331212nnaaaaaa．（1）求1a，2a的值；（2）求数列na的通项公式na；（3）设数列21{}nnaa的前n项和为nS，不等式1log13naSa对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当1n时，有3211aa，由于0na，所以11a．当2n时，有2331212aaaa，将11a代入上式，由于0na，所以22a．（2）由于23331212nnaaaaaa，①则有23333121121nnnnaaaaaaaa．②②－①，得223112112nnnnaaaaaaaa，由于0na，所以211212nnnaaaaa．③同样有21212nnnaaaaa，2n，④③－④，得2211nnnnaaaa．所以11nnaa．由于211aa，即当1n时都有11nnaa，所以数列na是首项为1，公差为1的等差数列．故nan．（3）211111,()(2)22nnnanaannnn13243511211111...nnnnnSaaaaaaaaaa1111111111[(1)()()...()()]232435112nnnn11113111(1)()22124212nnnn1311131111[()][()]042234212(1)(3)nnSSnnnnnn数列{}nS是递增数列，故min11|3nSS要使不等式1log13naSa对任意的正整数n恒成立只须11log(1)33aa，又10,01aa故11,2aaa102a所以实数a的取值范围是1(0,)2角度5（2011.福建）已知等差数列{}na中，11a，33a．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}na的前k项和35kS，求k的值．解析：（Ⅰ）设等差数列{}na的公差d，则1(1)naand，由题设，313212aadd，所以2d．1(1)(2)32nann．（Ⅱ）因为1()(132)(2)3522kkkaakkSkk，所以22350kk，解得7k或5k．因为*kN，所以7k．重点3等比数列及其前n项和1.等比数列的通项公式：1*1,,,nnmnnmaaqaaqmNmn2.等比数列的前n项和公式：11,1(1),11nnnaqSaqqq3.等比数列的性质与应用:23243,,,,...pqstnnnnnnpqstaaaaSSSSSS也成等比数列4.等比数列的判定与证明：（1）利用定义1,nnaqqa为常数（2）利用等比中项212nnnaaa，[高考常考角度]角度1若等比数列{}na满足116nnnaa，则公比为（）A.2B.4C.8D.16解析：由题有2231223116,16164aaaaaqqa，故选择B.角度2在等比数列na中，若141,4,2aa则公比q；12naaa.解析：由已知得34182aqqa；所以121(21)12(21)212nnnaaa.角度3设数列{}na的前n项和为,nS已知11,a142nnSa（Ⅰ）设12nnnbaa，证明数列{}nb是等比数列（Ⅱ）求数列{}na的通项公式。解析：（Ⅰ）由11,a及142nnSa，有12142,aaa21121325,23aabaa由142nnSa，………………………①则当2n时，有142nnSa……….②②－①得1144,nnnaaa1122(2)nnnnaaaa，又12nnnbaa，12nnbb{}nb是首项13b，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得11232nnnnbaa，113224nnnnaa（如果不这样，就要用到累差法了）数列{}2nna是首项为12，公差为34的等比数列．1331(1)22444nnann，故2*(31)2,nnannN角度4等比数列na中，123,,aaa分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,aaa中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）若数列nb满足：(1)lnnnnnbaa，求数列nb的前2n项和2nS.解析：（Ⅰ）当13a时，不合题意；当110a时，不合题意.当12a时，当且仅当236,18aa时，符合题意；因此1232,6,18,aaa3q故1*23,nnanN（Ⅱ）因为(1)lnnnnnbaa1123(1)ln(23)nnn1123(1)[ln2(1)ln3]23(1)(ln2ln3)(1)ln3,nnnnnnn2122nnSbbb2122(133)[111(1)](ln2ln3)nn2[123(1)2]ln3nn22132ln33ln31.13nnnn重点4数列的求和1.数列求和的注意事项：（1）首项：从哪项开始相加；（2）有多少项求和；（3）通项的特征决定求和的方法2.常见的求和技巧：（1）公式法，利用等差数列、等比数列的求和公式；（2）倒序相加法；（3）错位相减法；（4）分组求和法；（5）裂项法；（6）并项法[高考常考角度]角度1若数列na的通项公式是(1)(32)nnan,则1210aaa（）A.15B.12C.D.解析:方法一：分别求出前10项相加即可得出结论；方法二：12349103aaaaaa，故aaaL.故选A.角度2已知数列2211,12,122,...,122...2n，求此数列的前n项和解析：由2112122...22112nnn2211(12)(122)...(122...2)nnS23(21)(21)(21)...(21)n2312(12)222...22212nnnnnn角度3数列{}na为等差数列，na为正整数，其前n项和为nS，数列{}nb为等比数列，且113,1ab，数列{}nab是公比为64的等比数列，2264bS.（1）求,nnab；（2）求证1211134nSSS.解：设{na}公差为d，由题意易知0d，且*dN则{na}通项3(1)nand，前n项和dnnnSn2)1(3再设{nb}公比为q，则{nb}通项1nnqb由6422Sb可得·(6)64qd①又{nab}为公比为64的等比数列，∴daaaaaaqqqqbbnnnnnn11111，∴64dq②联立①、②及0d，且*dN可解得8,2qd∴{na}通项21nan，*nN{}nb的通项18nnb，*nN（2）由（1）知(1)322nnnSn(2)nn，*nN∴11(2)nSnn111()22nn12111nSSS11111111(1)()()2322422nn111111(1)23242nn11111111[(1)()]2233452nn1111[(1)()]2212nn31113()42124nn角度4设4(),42xxfx若122013()()...()201420142014Sfff，则S________解析：11442(),(1)424242xxxxxfxfx42()(1)14242xxxfxfx由122013()()...()201420142014Sfff得201320121()()...()201420142014Sfff1201322012201312[()()][()()...[()()]2013201420142014201420142012Sffffff，20132S角度5设数列{}na满足21*123333,3nnnaaaanN