【全程复习方略】2013版高中数学-(主干知识+典例精析)4.3平面向量的数量积课件-理-新人教B版

第三节平面向量的数量积三年27考高考指数:★★★★★1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直，是重点也是难点；2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主.1.平面向量的数量积(1)向量的夹角①定义：如图，已知两个________和，作则向量与的夹角是_________,记作〈〉.abOA,OBab＝，ab,ab非零向量θ或∠AOB②范围：向量与的夹角的范围是.③当θ＝0°时,与.当θ＝180°时,与.当θ=90°时,与.ab0°≤θ≤180°ababab同向反向垂直(2)向量在轴上的正射影已知向量a和轴l,作=a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则_________叫做向量a在轴l上的正射影(简称______)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的______或在轴l的方向上的________.=a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al=__________.OA11OA向量射影数量数量OA|cosθ｜a(3)平面向量数量积的定义向量和的数量积为,记作=.(4)数量积的运算律①交换律：;②数乘结合律：==;③分配律：=.ab||||cos,abab〈〉ab||||cos,abab〈〉abbaab()ab()abcabac()ab【即时应用】(1)思考：(a·b)c与a(b·c)相等吗？提示：不一定相等，∵,均为实数，∴()∥，∥,所以与不一定相等.abbcabcc()abca()abcabc(2)已知正三角形ABC的边长为1，则①=；②在方向上的正射影的数量为.【解析】①②在方向上的正射影的数量为||cosA=1·cos60°=.答案：①②ABACABAC1ABACABACcosA11cos60.2｜｜｜｜ABACAB121212(3)已知||=1，||=2，=1，则向量a、b的夹角θ等于.【解析】∵cosθ=又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.答案：60°abab11,122abab2.平面向量数量积的性质及坐标表示=(),=()ab1x,1y2x,2y结论几何表示坐标表示模数量积夹角x1x2+y1y2=0的充要条件ab||||||与的关系abab||a||aababcos,abcos,abab||||||（当且仅当时等号成立）ababab222212121122xxyyxyxyaa2211xy||||cos,abab1212xxyy||||abab121222221122xxyyxyxy0【即时应用】(1)思考：若0，是否说明〈,〉为钝角？提示：不一定，也可能是平角.(2)已知a=(1，-1)，b=(2,4),判断下列命题的真假(请在括号内填“真”或“假”).①+=+()②cos〈,〉=-()ababab1010｜｜a｜｜b225③若⊥(+λ),则λ=1()④=18()【解析】①=,故①真.②cos〈,〉====-,②真.③∵=(1,-1)+λ(2,4)=(2λ+1,4λ-1)，∴a·(a+λb)=(2λ+1)-(4λ-1)=-2λ+2=0，∴λ=1,③真.aab4（）（）abab｜｜｜｜ab22221124225ababab｜｜｜｜1214220（）10102225ab④∵=(3,3),=4(1,-1)+(2,4)=(6,0)，∴=3×6+3×0=18,④真.答案：①真②真③真④真ab4ab()(4)abab平面向量数量积的运算【方法点睛】1.平面向量的数量积问题类型及求法(1)已知向量、的模及夹角，利用公式=求解；(2)已知向量、的坐标，利用数量积的坐标形式求解.ababcos,｜｜｜｜〈〉ababab2.利用数量积求解长度问题的处理方法(1)==或.(2).(3)若=(x,y),则.2aaa2a｜｜||aaa2222ababaabb｜｜a22xy｜｜a【例1】(1)(2011·大纲版全国卷)设向量a，b满足=1,，则=()(A)(B)(C)(D)(2)(2011·湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中，设，，则=.(3)(2011·辽宁高考改编)已知向量=(2,1),=(-1,k),⊥(2-),则=.12abab｜｜｜｜|2|ab2357BC2BDCA3CEADBEabaababab（）（）【解题指南】(1)借助求解；(2)用基向量、表示向量、，进而求解；(3)借助=0求k，进而求.【规范解答】(1)选B.∵=，∴2222ababab｜｜（）（）ABACADBE(2)aab()()abab222|2|44abaabb22114()4132|2|3.ab(2)由题意画出图形如图所示，取基底，结合图形可得答案：ABAC，12ADABACBEAEABACAB23，，12ADBE(ABAC)(ACAB)2322111ACABABAC3261111cos60.326414(3)∵=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k)，由⊥得=10+(2-k)=0,∴k=12,∴=(-1,12),∴===-140.答案：-1402aba(2)ab(2)aabb()()abab22ab222221112（）［（）］【反思·感悟】向量的数量积运算是向量之间的一种运算，结果是一个数量.平面向量的数量积运算类似于多项式的乘法.在进行数量积运算时，要认清向量的模和夹角，正确地进行数量积的运算，避免错用公式，如≠.|ab｜||||ab平面向量的垂直问题【方法点睛】两向量垂直的判断方法及应用(1)若,为非零向量，则⊥=0；若非零向量=(x1,y1),=(x2,y2),则⊥x1x2+y1y2=0.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径.【提醒】向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题.ababababab【例2】已知=(-)，=若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量.【解题指南】设出向量=(x,y)，利用⊥列出方程组，求出a1322,OA,OBabab,bbOA|OA||OB|,OB,.b【规范解答】方法一：设向量=(x,y),则=(--x,-y)，=+=(-+x,+y)，由题意可知,=0，||=||，从而有：解得所以=()或=().bOAab1232OBab1232OAOBOAOB22221133(x)(x)(y)(y)02222,1313(x)(y)(x)(y)222233xx22.11yy22或b31,22b31,22方法二：设向量=(x,y)，依题意，=0，||=||，则=0，||=||，所以||=||=1,=0.所以向量是与向量相互垂直的单位向量，即有解得=()或=().bOAOBOAOB()()ababababababba2213xy022xy1,b31,22b31,22【反思·感悟】坐标表示下的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题.化形为数，从而使向量问题数字化.平面向量夹角的求法【方法点睛】求向量夹角的方法(1)利用向量数量积的定义，cos〈〉=其中0°≤〈〉≤180°，求解时应求出三个量：或者找出这三个量之间的关系.(2)利用坐标公式，若=(x1,y1),=(x2,y2),则cos〈〉=,ab||||abab,ab,||,||ababab,ab121222221122xxyy.xyxy(3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中,利用正余弦定理，三角形的面积公式等求解.【提醒】0⇔0°≤〈〉90°(0⇔90°〈〉≤180°)，即0(0)是〈a,b〉为锐角(钝角)的必要而不充分条件.ab,abab,ab,ab【例3】(1)(2011·湖北高考)若向量=(1,2),=(1,-1),则2与的夹角等于()(A)(B)(C)(D)(2)(2011·浙江高考)若平面向量满足||=1,||≤1，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角θ的取值范围是.ababab46434,αβαβ,αβαβ12【解题指南】(1)先求出2、的坐标，再用夹角的坐标公式求夹角.(2)利用平行四边形的面积可得出sinθ的范围，进而求出夹角θ的范围.abab【规范解答】(1)选C.∵2=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)，=(1,2)-(1,-1)=(0,3)，∴(2)·()=3×0+3×3=9,|2|=3||=3,设2与的夹角为θ,∴cosθ=又θ∈［0，π］，∴θ=ababababab2,ababab92,2323.4(2)由S=||·||sinθ=||sinθ=可得，sinθ=≥,故θ∈［］.答案：［］1212||βαββ5,665,6612【反思·感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cosθ,进而求θ，要注意θ∈［0,π］.【满分指导】平面向量主观题的规范解答【典例】(12分)(2011·陕西高考)叙述并证明余弦定理.【解题指南】利用向量数量积证明，由a2=把()2展开利用·cosA代入，即可证明.22BC(ACAB),ACABACAB|AC||AB|【规范解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，有a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.……………………………………4分证明：如图，…………………………8分=b2-2bccosA+c2，即a2=b2+c2-2bccosA，……………………………………10分同理可证b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.…………………………………………12分2aBCBC(ACAB)(ACAB)22AC2ACABAB22AC2|AC||AB|cosAAB【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)余弦定理用文字语言叙述不完整、不规范，用符号语言表述时三个只写一个.(2)用证明时计算失误.22BC(ACAB)备考建议解决平面向量数量积问题时，还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注：(1)公式记错；(2)对向量的夹角理解错误；(3)混淆向量平行与垂直的充要条件.另外熟练掌握数量积问题的常见求法，才能快速正确解决平面向量的数量积问题.1.(2011·重庆高考)已知向量=(1,k),=(2,2),且与共线，那么的值为()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】选D.=(3,2+k),因为与共线，所以2+k-3k=0,解得k=1,所以=1×2+1×2=4.ababaabababaab2.(2012·潍坊模拟)已知=(-3,2),=(-1,0)，向量λ与垂直，则实数λ的值为()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.∵=(-3,2),=(-1,0)，∴λ=λ(-3,2)+(-1,0)=(-3λ-1,2λ)，=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2)，又∵λ与