函数的单调性与最值(讲)

函数的单调性与最值函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间DDI上的任意两个自变量1x、2x，当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数fx在区间D上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间DDI上的任意两个自变量1x、2x，当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数fx在区间D上是减函数.函数的最值1.最大值：一般地，设函数yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有fxM；（2）存在0xI，使得0fxM.那么，我们称M是函数yfx的最大值.2.最小值：一般地，设函数yfx的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有fxm；（2）存在0xI，使得0fxm.那么，我们称m是函数yfx的最小值.对点练习函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间上的最大值为________．【答案】3考点1单调性的判定和证明1.给定函数①12yx＝，②12(1)ylogx＝＋，③|1|yx＝－，④12xy＋＝.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()【答案】BA．①②B．②③C．③④D．①④【领悟技法】1.利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；（2）函数fx与函数fx的单调性相反；（3）0k时，函数fx与kfx的单调性相反（0fx）；0k时，函数fx与kfx的单调性相同（0fx）.2.导数法：0fx在区间D上恒成立，则函数fx在区间D上单调递增；0fx在区间D上恒成立，则函数fx在区间D上单调递减.4.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.【变式一】下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()【答案】AA.y＝1x－xB.y＝x2－xC.y＝lnx－xD.y＝ex－x【变式二】定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f12＝0，则不等式f(log19x)0的解集为________.【答案】103xx或13x1.212log32yxx的递增区间是（）A.,1B.2,C.3,2D.3,22.函数23xyxe的单调递增区是（）A.,0B.0,C.,3和1,D.3,1【答案】D【领悟技法】1.基本初等函数的单调区间：函数图象参数范围单调区间或单调性一次函数0ykxbkk0k0Oyx0k单调递增区间,0k单调递减区间,二次函数20yaxbxcaa0x=-b2ay=ax2+bx+cOyx0a单调递减区间为,2ba；单调递增区间为,2ba.a0x=-b2ay=ax2+bx+cOyx0a单调递增区间为,2ba；单调递减区间为,2ba.反比例函数kyx0kOyxy=kxk0()0k单调递减区间为,0和0,Oyxy=kxk0()0k单调递增区间为,0和0,指数函数xya（0a且1a）a10a11y=axOyx01a单调递减区间为,1a单调递增区间为,对数函数logayx（0a且1a）1a10a1y=logaxyxO01a单调递减区间为0,1a单调递增区间为0,幂函数yx0α1α0α1α=1α=011y=xαOyx0在0,上递减0没有单调性0在0,上递增正弦函数sinyxyx-11O-3π2-π2-π-2π3π2π2π2π单调递增区间2,222kk单调递减区间32,222kkkZ余弦函数cosyxOyx-11-32π32π-π2π2-2π2π-ππ单调递减区间2,2kk；单调递增区间2,2kkkZ正切函数tanyxyx-ππO-3π23π2-π2π2单调递增区间,22kkkZ2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数yfgx，可设内层函数为ugx，外层函数为yfu，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数yfgx在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数yfgx在区间D上单调递减.4.导数法：不等式0fx的解集与函数fx的定义域的交集即为函数fx的单调递增区间，不等式0fx的解集与函数fx的定义域的交集即为函数fx的单调递减区间.【触类旁通】函数223yxx的单调递增区间为.【答案】1,1和3,.考点3利用单调性确定参数取值范围1.已知函数22,0(),0xxfxxx，若2()(2)fafa，则实数的取值范围是．【答案】21a【答案】(3,)【领悟技法】1.解决抽象不等式fafb时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数fx的单调性.若函数fx为增函数，则ab；若函数fx为减函数，则ab.2.在比较1fx、2fx、、nfx的大小时，首先应该根据函数fx的奇偶性与周期性将1fx、2fx、、nfx通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小.【领悟技法】函数最值的求解方法：1.单调性法：考查函数的单调性，确定函数的最值点，便可求出函数相应的最值.2.图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.3.分段函数的最值：将每段函数的最值求出，比较大小确定函数的最值.4.导数法：对于一般的可导函数，可以利用导数求出函数的极值，并与端点值进行大小比较，从而确定函数的最值.【触类旁通】1.函数()fx在(,)单调递减，且为奇函数．若(11)f，则满足21()1xf的的取值范围是【答案】DA．[2,2]B．[1,1]C．[0,4]D．[1,3]