环球网校:视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料,考试通过无忧!考试问吧,有问必答!音频、讲义网校免费提供,如有贩卖勿上当,免费咨询:400-678-3456转6011页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多需要课件请联系QQ149420357或5473437582.左、右极限在函数极限的概念中,自变量0xx的变化趋向,x可以从x0的左、右两侧趋向于x0但有时只需考虑x仅从x0的左侧趋向于x0(记成0xx),或x仅从x0的右侧趋向于x0(记成0xx)若当0xx时,f(x)无限趋近于常数A,则称f(x)当0xx时的左极限为A,记成0lim()xxfxA或0()fxA。类似地,有f(x)当0xx时的右极限,记成0lim()xxfx或0()fx,以及lim()xfx与lim()xfx。函数f(x)当0xx(或x)时的极限存在的充分必要条件,是函数的左、右极限均存在且相等,即3.极限运算法则(l)(极限的四则运算法则)注意:上述记号“lim”下的自变量变化过程可以是0xx、x、0xx、0xx、x、x,但等号两端出现的必需是同一种。(3)(复合函数的极限运算法则)设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,f[g(x)]在点x0的某去心领域内有定义,若00lim()xxgxu,0lim()uufuA,且存在00当00(,)oxUx时,有0()gxu,则环球网校:视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料,考试通过无忧!考试问吧,有问必答!音频、讲义网校免费提供,如有贩卖勿上当,免费咨询:400-678-3456转6012页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多(二)极限存在准则和两个重要极限1.夹逼准则和极限准则I(数列情形)若数列且xn、yn、及zn满足条件:nnnyxz(n=1,2,3,…)且limlimnnnnyza则数列xn的极限存在且limnnxa准则I’(函数情形)若函数f(x)、g(x)及h(x)满足条件:利用准则I’,可得一个重要极限2.单调有界准则和极限准则II单调有界的数列(或函数)必有极限。利用准则II,可得另一个重要极限其中e是一个无理数,e=2.71828……(三)无穷小的比较设a及都是在同一个自变量变化过程中的无穷小,且0,lim也是在这个变化过程中的极限。若lim=0,就称是比a高阶的无穷小,记作=(a);并称a是比低阶的无穷小;若lim=C0,就称是与a同阶的无穷小;若lim=1,就称是与a等阶的无穷小,记作a:。关于等价无穷小,有以下性质:环球网校:视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料,考试通过无忧!考试问吧,有问必答!音频、讲义网校免费提供,如有贩卖勿上当,免费咨询:400-678-3456转6013页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多若::’’,且lim’’存在,则当x0时,有以下常用的等价无穷小:(四)例题一般地,对有理分式函数其中P(x)、Q(x)是多项式,若0limxQ(x)=Q(x0)0,则注意:若Q(x0)=0,则关于商的极限运算法则不能应用,需特殊考虑。【例1-2-2】求233lim9xxx【解】3limx(x2-9)=0,不能应用商的极限运算法则。但分子、分母有公因子x-3,故环球网校:视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料,考试通过无忧!考试问吧,有问必答!音频、讲义网校免费提供,如有贩卖勿上当,免费咨询:400-678-3456转6014页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多【例1-2-3】2123lim54xxxx。【解】1limx(x2-5x+4)=0,1limx(2x-3)=-1,故从而【例l-2-4】求3232342lim753xxxxx。【解】当x时,分子、分母都为无穷大,不能应用商的极限运算法则,但可先用x3去除分子、分母,故【例1-2-5】sinlimxxx等于(A)1(B)0(C)不存在且不是(D)【解】由于1limxx=0,sin1x,按照“有界函数与无穷小的乘积是无穷小”,故应选(B),注意不要与极限0sinlimxxx=1相混淆。【例1-2-6】求201coslimxxx。环球网校:视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料,考试通过无忧!考试问吧,有问必答!音频、讲义网校免费提供,如有贩卖勿上当,免费咨询:400-678-3456转6015页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多【例1-2-7】求limx11xx。【解】令x=-t,则当x时,t。于是【例1-2-8】求21limxxxx。【例1-2-9】求0tan2limsin5xxx。【解】当x0时,tan2x:2x,sin5x:5x,所以【例1-2-10】求1230(1)1limcos1xxx。【解】当x0时,12231113xx:,cosx-1:-212x,所以【例1-2-11】12111lim1xxxxl等于(A)2(B)0(C)环球网校:视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料,考试通过无忧!考试问吧,有问必答!音频、讲义网校免费提供,如有贩卖勿上当,免费咨询:400-678-3456转6016页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多(D)不存在且不是【解】因为所以故极限不存在,且不是,应选(D)。【例1-2-12】设f(x)=2x+3x-2,则当x0时,有(A)f(x)与x是等价无穷小(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小(C)f(x)是比x高阶的无穷小(D)f(x)是比x低阶的无穷小【解】所以应选(B)。【例1-2-13】当x0时,tanx-sinx是x3的(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但非等价无穷小(D)等价无穷小【解】应选(C)。注意:当xO时,tanx~x,sinx~x,但不能得出tanx-sinx~x-x=0,从而得出上述极限为零,而选(A)。事实上,上面的计算结果表明tanx-sinx~31(0)2xx。由此可知,在利用等价无穷小求极限时,不能对分子或分母中的某个加项作代换,而应该对分子或分母的整体,或其中的无穷小的因子作等价环球网校:视频授课+名师答疑+在线模考+内部资料,考试通过无忧!考试问吧,有问必答!音频、讲义网校免费提供,如有贩卖勿上当,免费咨询:400-678-3456转6017页造价工程师|监理工程师|咨询工程师|一级建造师|二级建造师|会计证|建筑师|安全工程师|会计职称|注册会计师|注册税务师|银行从业|证券从业|期货从业|经济师|报关员|外销员|执业药师|卫生职称|助理医师|职称英语|职称日语|职称计算机|雅思|公共英语|自考英语|新概念|BEC|托福|公务员|人力资源师|高考|中考|司法考试|更多代换,才不致出错。【例1-2-14】极限lim(1十cosx)2secx的值等于(A)e(B)e2(C)e-1(D)e-2【解】