第二章水静力学

2020/7/171第二章水静力学2020/7/172水的静力学是研究液体在静止或相对静止状态下的力学平衡规律及其在工程实际中的应用。所谓“静止”是指液体不仅在质点之间没有相对运动，液体与地球之间也没有相对运动，如湖中的水，没有泄流的管流等。所谓“相对静止”是指液体质点之间没有相对运动，但液体整体相对于地球有运动，如车厢中放置的水，等速旋转的容器中的液体等。2020/7/173一、静水压强及其特性1.静水压力与压强静水压力是指静止的液体作用在与液体接触的表面上的压力，一般用P表示。在下图的平板闸门上，取一面积ΔA，作用在其上的压力为ΔP，则该面上的平均压强（静水压强）为：APp§1静水压强及其特性2020/7/174当ΔA→0时，即趋于点K时，点K的静水压强：dAdPAPpA0lim二、静水压强的特性1.静止压强垂直于受压面，并指向受压面的内部。该特性可用反证法证明（图2-2）。取一液体块M，将其切成两块，只研究Ⅱ部分。在其上取一点A，如果作用在点A上的压强p不是垂直于N-N面，那么，它就应分成水平方向的压强px和垂直方向的压强py，并有p=px+py。由于静止的液体没有相对运动，内摩擦力不存在，px=0，故p=py，这就证明了静止压强必垂直于受压面。2020/7/175如果静止压强不是指向受压面之内，而是指向外，则Ⅱ部分就要受到拉力。但事实上，液体是不能承受拉力的，一旦有拉力，液体的静止就要受到破坏，故静水压强的方向只能指向受压面的内部。证毕。2020/7/1762.静止液体中任一点的静水压强在各个方向上大小相等。证明如下（图2-3）：在静止液体内取一微小正四面体ABCD，且它的三个棱边与坐标轴平行，这三个棱边的长度分别为Δx、Δy、Δz。这个四面体的四个表面都受到周围液体给它们的压力，但由于这四个面的方向各不相同，各自受到的静水压力的方向亦不相同，它们分别用Px、Py、Pz和Pn表示，其对应的平均压强分别为px、py、pz和pn。不难看出：zypPxx21zxpPyy21yxpPzz212020/7/177nnpsP（Δx为斜面的面积），且Pn在三个坐标轴上的分力可表示为：),cos();,cos();,cos(znPPynPPxnPPnnznnynnx由几何学可知，这样的四面体的体积为由Δx、Δy、Δz为边长的长方体的体积的1/6，故四面体的质量为：zyxM61四面体受到的质量力的分力为：ZzyxZMFYzyxYMFXzyxXMFzyx6161;612020/7/178由于这个四面体是处于静止的，表明作用于它的所有外力（表面力和质量力）之和在三个坐标轴上的投影之和等于0：0,cos0,cos;0,cosznzynyxnxFznPPFynPPFxnPPzypxnspxnspxnPnnnn21,cos,cos,cos式中0612121Xzyxzypzypnx于是同除得：zy21031xXppnx2020/7/179当令四面体缩小至一点A时，031lim0xXxnxpp于是。类推得：nzyxpppp表明四面体各面受到的压强都相等，与受压面无关。证毕。应当指出，同一点各个方向的压强都相等，但不同点的压强不一定相等（例如A点的压强不等于B点的压强）。2020/7/1710§2液体的平衡微分方程一、静止液体的受力分析在静止液体中，取一微小六面体（图2-4），其中心点为。六面体的边长分别为dx、dy、dz。),,(zyxA(一)表面力因静止液体没有内摩擦力，作用在六面体上的表面力只有周围液体给它们的压力。先分析一下x轴上的力。2020/7/1711过A点作平行于x轴的直线，该直线与左右两面分别相交于M和N两点。设A点的压强为，压强在x轴上的梯度为，它的几何意义是压强在x轴上变化率，其物理意义为：在x轴上，每增加1个单位的距离，其压强的改变量。从A点到M点的距离为，从A点到M点压强的改变量为：),,(zyxpxpdx21dxxpdxxp2121令压强沿x轴的正向是增加的，则M点的压强为：dxxpppM21N点的压强为：dxxpppN21左右两面所受到的表面力为：dydzdxxppPdydzdxxppP)21(;)21(右左2020/7/1712(二)质量力由于液体为静止的，质量力只有重力。x轴上的分力为：XdxdydzXdVFx二、静止液体的平衡微分方程根据液体平衡条件，施加到六面体上的所有外力的代数和等于0，且各力的三个轴上的分力也为0。于是：0)21()21(Xdxdydzdydzdxxppdydzdxxpp2020/7/1713化简并除以质量，得单位质量的液体表达式：dxdydz01xpXxpX1或01;01zpZypY同理方程左边的第一项为单位质量力，左边第二项为单位质量的表面力。由此得出，对于单位质量的液体而言，各坐标轴上质量力与表面力相等。上式是由瑞士学者是欧拉（Euler）推导的，故又称欧拉平衡微分方程。Mxpdxdydzxpdxdydzxpdydzdxxppdydzdxxpp1)21()21(2020/7/1714三、液体平衡微分方程的理论意义(一)静水压强的分布规律将上三式分别乘以dx、dy、dz，并将三式等号两边相加得：ZdzYdyXdxdzzpdyypdxxp1上式左边括号内为压强p的全微分，故可写成：)(ZdzYdyXdxdp对上式求积分得：)(ZdzYdyXdxp不难看出，静水压强的大小是由单位质量力决定的。2020/7/1715(二)液体的等压面液体的等压面是指液体中压强相等的点所组成的面，它可以是平面，也可以是曲面。既然在等压面上各点的压强相等，即，由上式得Cp0dp于是：0ZdzYdyXdx这就是液体等压面的平衡微分方程。2020/7/1716由于X、Y、Z是单位质量力f在三个轴上分量，而dx、dy、dz也可把看成是在等压面上的微小位移ds在三个坐标轴上的投影，则0sfZdzYdyXdx但f和s都不为0，于是这两个矢量必正交，表明质量力与等压面垂直。由于质量力只有重力，故等压面必然为水平面。在自由水面上，各点均与大气接触，各点受到的大气压强都相等，因此，自由水面也是等压面。2020/7/1717§3重力作用下液体的平衡在实际工程中，作用于大部分静止液体的质量力只有重力。一、水的静力学方程图2-5为一封闭容器中的静止液体。在质量力只有重力的情况下：0X0YgZ将它们代入平衡微分方程得：dzgdzZdzYdyXdxdp)(2020/7/1718积分后得：czpc可由边界条件确定。设作用在液体自由表面上的压强为p0，自由表面所处的高度为z0，于是：czp0000zpc代入上式得：)(0000zzpzpzpzz0为水深h，故hpp0上式即为水的静力学基本方程。事实上，它是计算某一深度静水压强的基本公式。2020/7/1719上式的物理意义为：静止液体内部任一点的静水压强由两部分组成，一部分是在自由表面上由大气施加的压强，根据巴斯加原理，它等值地传递到液体内部的各点（当然也包括本点）。另一部分是该点以上的液体给该点的压强，因AhgAhVgmgGhAG因此，p相当于大气压强和其上水的压强之和。由上式可以看出，只有在均质液体（）且连通的静止液体中，位于同一深度（h）的各点压强才相等，这也是水平面就是等压面的充要条件。c2020/7/1720二、绝对压强、相对压强和真空压强的大小必须有一个基准，不同的基准可得出不同的压强值来。(一)绝对压强在水力学中，如果以没有气体的完全真空作为0算起的话，则这种压强值称为绝对压强，常用符号表示（见图2-6）。p(二)相对压强在许多水力学问题上，大都受到大气压强的影响，以当地大气压强为0算起的压强称作相对压强，以符号p表示。因此，appp2020/7/1721(三)真空由于绝对压强的起点最低，故总是正的，但相对压强要视具体情况而定。如果液体中某处的绝对压强大于大气压的话，相对压强为正（图2-6的A点），若液体中某处的绝对压强小于大气压强，则该处相对压强为负（如图中的B点），常常把相对压强为负的情况称为负压，把负压的绝对值称为真空或真空值，常用符号pv表示，因此真空总是正值：ppppppaav2020/7/1722(四)压强高度在静力学基本方程中，p为绝对压强。若将p改为表示相对压强，则如果p0就是由大气施加到自由表面的压强，则；，因γ为常数，所以液柱高度就反映压强的大小，只是单位不同而已。所以在工程中，常用h来表示压强的大小，h称为压强高度。大家知道，一个标准大气压为，但在工程中为计算方便，一个大气压常取，这个数据称作工程大气压。于是，一个工程大气压相当于水柱高度aphpp0app0hp2/325.101mkN2/98mkNmmkNmkNph10/8.9/98322020/7/1723(五)真空高度（真空度）真空压强也可用水柱高度来表示：ppphavvvh称为真空高度或真空度。当完全真空时，，最大真空度为10m。但事实上，这样的真空度是不可能实现的，因为当绝对压强降低到水的汽化压强时，就要汽化，产生蒸气，气体膨胀而产生的压强与液体压强相抗衡，使液体压强不能继续下降，这时的绝对压强就等于汽化压强E。因此，最大真空值为：0ppEppav2020/7/1724三、位置水头、压强水头、测压管水头由静止液体的平衡方程得：dzdpcpzdpdz;0这里的z和p都没有下标，表明对任一点都成立，即：332211pzpzpz2020/7/1725表明任一点z和之和不变（常数）。式中的z为任一点在基准面以上的几何高度，该值称为位置水头。是这个点的压强高度，在水力学中称为压强水头，二者之和称为测压管水头。上式也可以这么说，静止水体内任一点的测压管水头相等（图2-8）。pp2020/7/1726四、静止液体的能量守恒规律事实上，静止液体内各点测压管水头相等反映了能量守恒规律，下面就此作些证明。设在液体内部取一质量为m的质点（如图2-8a、b），其重心位于基准面以上的高度为z，则该点所具有的势能为mgz，将其除以重力mg得单位重量的势能为：因此，位置水头z就表示单位重量的液体所具有的势能，这种势能称位置势能，简称位能。令该质点的压强为p，若在该质点处设置一开口的测压管，则在该压强作用下液体将沿测压管上升后才停下来，这种由压强引起的势能增加量为：zmgmgzp2020/7/1727pmg所以单位重量的液体势能增加量为：pmgpmg我们把这种由压强转换成的势能称为压强势能，简称压能，即压强水头等于压能，而把称为总势能。显见，取点的位置越高，其位能越大，但压能越小，反之亦然。其总势能是不变的，这就是静止液体的能量守恒规律。pz2020/7/1728§4压强测量测量液体压强的仪器很多，这里只介绍几种。一、测压管图2-8就是最简单的测压管，管中液柱高度就反映了连接点的压强，因为。如果压强很小时，上升高度很低，测量误差较大，为此可将测压管倾斜（图2-9），这样，较小的压强作用就可使测压管上升较长，或者在测压管中加入较轻的液体，这样也可使较小的压强产生较高的液柱。hp2020/7/1729二、U型水银测压计当压强较大时，所需测压管较长，很不方便，这时可用U型管（图2-10），该管里面充斥着较重的水银，但求算略为复