第三章水动力学基础

2020/7/171第三章水动力学基础2020/7/172大家知道，水的静力学是特例，大部分的水都处于运动状态，环境工程中更是如此。水的动力学就是研究液体的运动规律及其在工程中的应用，本章用到物理学和理论力学的知识。§1描述液体运动的两种方法在第一章中已介绍了液体为连续介质，液体的运动是连续的质点运动，而任一质点在某一瞬间占据着一空间点，因此必须首先明确质点是具有一定质量的液体分子团，其速度、压强等物理量在液体运动中是不断变化的，但空间点是三维空间上的一个点，可用坐标来表示，它不随液体变化而变化。在描述液体运动时，建立在液体质点上和建立在空间点上所得结论是不同的。2020/7/173一、拉格朗日（Lagrange）法该方法是从单个液体质点出发，并跟踪每个质点，通过掌握足够多的运动规律来描述整个液体运动规律，这与理论力学研究质点系的方法类似，故该方法亦称质点系法。在图3-1中，取任一质点M，在初始时刻时，其空间坐标为，它分别代表X、Y、Z轴上的数值，不同的液体质点所占据的空间坐标是不同的。经过t时间后，这个质点已运动到新的空间点上，该时刻的空间坐标为。由于新点是运动后得出的，故称它为运动坐标。很显然，经过t时间后，新坐标不仅与时间t有关，还与初始坐标有关，所以，运动坐标是起始坐标和时间的函数，记作：0tt),,(cbaM),,(zyxM2020/7/174),,,(tcbaxx),,,(tcbayy),,,(tcbazz某个质点通过运动走过的空间点的连线称为这个质点的轨迹线（迹线）。这种研究方法的物理意义是清楚的，但质点轨迹很复杂，通过无数质点运动规律来概括整个液体的运动规律困难较大，况且，水力学中的大部分问题无须知道单个质点的运动规律，因此，该方法在水力学中很少应用。2020/7/175二、欧拉（Euler）法该方法是从空间点出发，通过研究液体经过各空间点的情况来了解整个流场的运动特性，故该方法亦称流场法或空间点法。水力学中所用方法就是这种方法。它不考虑某一质点的运动规律，而是从空间点出发，考虑液体质点通过某空间点时的流速等运动要素。在某一时刻，液体中各空间点上的流速方向是不一致的，我们人为的划一条曲线，曲线上各点的流速方向为该空间点的切线方向，这条曲线称为流线。（暂讲到这里）2020/7/176§2液体运动的基本概念及分类一、流场与运动要素所谓流场是指流动的液体所占据的空间，在流场中充满着液体质点，各个液体质点都对应于流场中的空间点。所谓运动要素是指定性或定量描述液体运动规律的物理量。如速度、加速度、压强、密度、力等。2020/7/177二、恒定流与非恒定流运动要素不随时间变化的液体运动称为恒定流，这里的“恒定”是指时间上的恒定。根据这个定义，在恒定流中，运动要素对时间的偏导数为0：由于恒定流的运动要素与时间无关，它只是空间坐标的函数。相反，液体运动要素随时间变化的流体称为非恒定流，并把这种性质称为非恒定性。0tu0tp0t2020/7/178三、迹线与流线迹线是指某一液体质点在运动过程中所占据的空间点的连线，它是液体质点运动的轨迹，是Lagrange法引出的概念。而流线是指某一时刻由许多质点组成的曲线，该线上各点的流速方向均与这条曲线在该点相切，它是Euler法引出的概念。因流线在水力学中应用较广，故谈一下它的性质。(一)流线具有瞬时性这是由流线的定义导出的。因为它是在某一时刻由不同空间点组成的曲线。2020/7/179(二)恒定流的流线与迹线重合，而非恒定流则一般不重合由于在恒定流中任一空间点上的流速大小和方向不随时间而变化，任一质点的运动是沿着流线走的，当然迹线和流线是重合的。但在非恒定流中，流速的大小和方向均随时间变化，于是流线与迹线就不重合了。例如在图3-6中，当为恒定流时，若出口很小，则可见液体质点为t1时刻的曲线(流线)，在此情况下，任取一液体质点，它所走的轨迹（迹线）也为这条曲线。但在非恒定流的情况下，不同时刻因出口的压强不同，质点具有的动能不同，它落地的距离会不同，即流线随水面下降而弯曲。而对于某一质点来说，不同时刻所处的位置不同，将其连接起来组成的曲线自然就与某一时刻的流线不重合。2020/7/17102020/7/1711(三)流线不能相交如果两条流线相交，则交点处的流速应同时与两条流线相切，这从几何上是讲不通的，只有在流场的特殊点上（图3-7）才可能出现。如图中流速为0的驻点（质点停下后就没有方向了，您说是哪个方向呢？）、流速无限大的奇点和两条流线相切的切点。同样，液体质点也不能穿越流线，因只要穿越，就会出现两条流线相交。(四)流线不能转折如果流线转折，则转折处的液体质点将同时具有两个流速方向，故流线应是一条光滑的曲线。2020/7/1712(五)流线上任一点的切线方向即为该点的流速方向这也是流线定义决定的。(六)流线的形状与流动边界有关图3-8是流线簇，从中可以看出，在近边界处，流线的走向与边界基本一致，在边界急剧变化处，液体质点受惯性作用，不能紧贴边界，使主流与边界之间形成漩涡区。2020/7/1713四、流管、元流、总流、过水断面(一)流管在流场中取一不与流线重合的微小封闭曲线，通过这条曲线上每一点都可以引出一条流线，这些流线组成的管状曲面称为流管（如图3-11），所以，流管具有两个重要的特性：①液体质点不能穿出或穿入流管，这是因为它表面是由流线组成的，管内的流线不能与组成流管的流线相交，故质点不能穿越流管。②恒定流的流管形状不随时间变化，因为流管是由流线组成的，在恒定流状态下，各点的流速不随时间变化，其流管形状亦不变。2020/7/1714(二)元流流管中的流体称作元流（或称微小流束）。元流的横截面积为一微小面积，在这么小的面积上，运动要素可看成是均匀分布的，当时，元流就变成一条流线。(三)总流由无数元流组成的整个液体的流动称为总流。如管道和明渠中的水流就是总流（如图3-12）。2020/7/1715(四)过水断面垂直于流线的液流横断面称为过水断面。如果流线是平行直线，则过水断面为一平面，如笔直的明渠和长管中的液流过水断面。当流线不是平直线条时，则过水断面为曲面（如图3-13中的虚线）。2020/7/1716五、流量与断面平均流速所谓流量就是单位时间内通过某一过水断面的液流体积，常用Q表示，亦称体积流量，单位为m3/s或l/s，若以单位时间内通过某一过水断面的液体重量表示流量，则常称为重量流量。没有特指时，流量就是体积流量的简称。对于元流来说，过水断面为dA，单位时间内的流速为u，则元流的流量为：若求总流，则须对元流求积分：udAdQAAudAdQQ2020/7/1717即只要知道流速函数和面积函数，就可求得流量。工程上，面积函数较简单，但流速函数较复杂，故需要讨论（见图3-14）。由图中可知，u的分布为管壁处较小，管轴心处最大，实际工程中的流速分布更为复杂，找出其函数式比较困难。为了使问题简化，常常只要求知道总流过水断面上的平均流速V就可以了，无须找出表达式，这样：AVdAVVdAudAQAAA由于流量好测，面积易求，因而平均流速也是易算的。2020/7/1718六、均匀流与非均匀流(一)均匀流流线是互相平行的直线的液体流动被称为均匀流。它具有以下特性：•过水断面为平面，且形状和尺寸大小沿程不变（见图3-18）。•由上条可推理，同一流线上各点的流速相等，各过水断面上的流速分布相同，各断面上的平均流速也相等。2020/7/1719•同一过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律相同，或曰同一过水断面上各点的测压管水头相等。所谓动水压强是指液流的压强（运动之液体压强的简称）。这个特性不能轻易看出来，须用图3-19作证明：在总流中任取一过水断面n-n，它与铅垂线的夹角为α，在断面上任取一点A，A点距基准面0-0的高度为z，A点的动水压强为p。以A点为底面dA的形心，围绕轴线n-n取一长度为dl的小柱体，柱体上面的形心点为B，B点的动水压强为p+dp，B点距基准面0-0的高度为z+dz。2020/7/1720将作用在微小柱体上所有外力均投影到轴线上：①柱体两端面积上的动水压力的投影：柱体两端面积均为dA，其面积上的动水压力分别为：和②柱体侧面受到的动水压力和切力投影：因液流作用在柱体侧面的动水压力与n-n轴线垂直，其投影值为0；因流速不均而产生的切力也与n-n垂直，其投影值亦为0。③柱体自身的重力在轴线的投影：设重力为G，它在n-n上的投影为：pdAdAdpp)(dzdAdldAVGGncoscoscos④惯性力在n-n轴线的投影：因均匀流中流速为常数，加速度为0，故惯性力为0。2020/7/1721于是，根据特性，质点不能穿越流线，即在n-n方向上没有质点运动，那么，作用在n-n方向上的所有外力的代数和为0：即0)(dzdAdAdpppdA0dzdpCpz这与静水状态的表达形式是一样的，所不同的是，静力学中的公式是在静止液体中导出的，它对静水中的任一点都是成立的，但这里是在过水断面上导出的，因此，我们的结论是：在均匀流中，过水断面上的测压管水头相等，而不同过水断面的测压管水头不一定相等。2020/7/1722所以，确切的数学表达式应为：Cpz同一过水断面)(或在同一过水断面上：332211pzpzpz这一特性可从图3-20看出。在断面1-2和断面3-4上，各自的测压管水头相等，但点2与点4、点1与点3的测压管水头就不相等。2020/7/1723(二)非均匀流流线之间不平行或（和）流线不是互相平行的直线的液流称为非均匀流。根据流线的弯曲程度，又将非均匀流分为渐变流和急变流两类。1.渐变流渐变流是指流线几乎是互相平行的直线，过水断面上的离心力的影响可忽略不计的液流称为渐变流。但曲率多大、流线之间的夹角多小才能称为渐变流呢？一般来说没有标准，视具体情况而定。渐变流的极限情况就是均匀流，所以，在渐变流中，过水断面上的动水压强分布规律可近似地看成与静水压强分布规律相同，在处理渐变流的问题时，按均匀流考虑。在实际工程中，大部分情况为渐变流（如图3-16）。2020/7/17242.急变流急变流是指流线显著弯曲或流线之间夹角很大，研究动水压强分布时必须考虑断面上的惯性力作用的液流。例如图3-21左图中的流线上凸的急变流，其过水断面上的动水压强就小于静水压强，这可从上面推导中得到解释。因为在n-n轴线上，除了上、下两面的动水压力和柱体自重在n-n上有分力外，还有向上的离心力，离心力与重力分力相抵后，再与动水压力的代数和为0，这样，动水压力就变小了，其动水压强也就比静水压强小了（图中的虚线）。rudldA22020/7/1725此外，我们所得出的均匀流和渐变流在同一过水断面上的结论是在水流有固体边界约束的情况下得出的，若水流失去固体边界约束（如管道出口水流向大气），即使是均匀流（例如距出口很近处），也不遵循规律，其原因在以后再谈。Cpz对于图3-21右图来说，与左图相反，其动水压强比静水压强大了。于是：332211pzpzpzCpz2020/7/1726§3恒定总流的连续方程（质量守恒方程）液体在流动过程中，也必须遵守质量守恒的规律，这是一自然法则。为了求其在液体运动过程中的表现形式，我们以图3-24来说明。在图中所示的恒定总流中取流段1-2，两过流断面分别为1-1和2-2，断面1-1的过水断面面积为A1，断面2-2的过水断面面积为A2。2020/7/1727我们从总流中取一元流来讨论，则断面1-1上的元流面积为dA1，流速为u1；断面2-2上的元流面积为dA2，流速为u2。由于前提条件为恒定流，所以，元流侧壁没有液体出入，有质量流入的面只能是dA1，有质量流出的面只能是dA2。在dt时间内，从dA1流入的液体质量为，从dA2流出的液体质量为。若将液流看成是不可压缩的流体，则。根据质量守恒定律，在dt时间内流入dA1面的液体质量等于该时段内流出d