全等三角形万能学案

1全等三角形专题知识点一：全等三角形的定义及性质（1）定义：全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形．（2）性质：全等三角形的相等。知识点二、学习全等三角形的符号表示及读法和写法．[针对性练习]（1）全等用符号_________表示，读作__________．（2）三角形ABC全等于三角形DEF，用式子表示为______________．全等三角形的判定（一）一．全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“”几何符号语言：在和中∵∴≌（）二．例题：如图，小龙用四根木条钉了一个四边形，其中木条，.小龙发现拉动、两点，和的大小发生变化，但和一直相等.你认为小龙的发现正确吗？说明理由.三．练习：1．如图，点、、、在同一直线上，，，.求证：2．在中，，、分别为、上的点，且，，.求证：SSSABCDEFDFACEFBCDEABABCDEFSSSABDCACABCDBDADBCBCBECFCFBEDEABDFACDEGCABC90CDEACABBDADBCAEDCDEABDE23．如图，点、、、在同一直线上，，，求证：4．如图，已知，，求证：．5．如图，与交于点，，、是上两点，且，．求证：⑴；⑵6.如图，已知，．求证：．全等三角形的判定（二）一．全等三角形的判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“”几何符号语言：在和中∵∴≌（）二．例题：如图，是中边的中点，，且.求证：⑴≌⑵ACFDDCAFDEABEFBCDEAB//CDABBDACDAACBDOCBADEFBDCFAEBFDEBDCFAE//DCABDBAC12SASABCDEFEFBCEBDEABABCDEFSASDABCBCACDABDACABABDACDECEB3三．练习：1．如图，已知，.求证：≌2．点、、、在同一直线上，，且.求证：⑴≌⑵3．如图，于，于，，.求证：4．如图，和都是等边三角形，连接、交于.求证：⑴⑵5.如图，是和的平分线，，.求证：6.如图，已知、是线段上的两点，且，，.求证：BCAD//BCADADCCBAADFBBFADBCAE//AEFBCDCDEF//DECDDDBABBBECDDEABAECEABCECDBEADOBEAD60AOBOPAOCBODOCOAODOBCDABEFABBFAEBCADBACEDF4全等三角形的判定（三）一．全等三角形的判定3：有两角和其夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“”全等三角形的判定4：有两角和其一角对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“”几何符号语言：在和中∵∴≌（）或：在和中∵∴≌（）二．例题：如图，，，求证：三．练习：1．如图，已知，求证：2．如图，，，.求证：≌．3．已知≌，和分别是和边上的高，和相等吗？为什么？ASAAASABCDEFEBDEABDAABCDEFASAABCDEFEFBCEBDAABCDEFAASCEAECEAE90BDDBABCD2143BEBDAEACEC21ABCADEABCCBAADDABCCBADDA54．如图，已知，，那么，你知道这是为什么吗？直角三角形全等的判定一．全等三角形的判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写为“斜边、直角边”或“”几何符号语言：∵∴在和中∵∴≌二．例题：如图，于，于，且求证：三．练习：1．如图，于，于，，.求证：2．如图，点、、、在同一条直线上，，，，且求证：CEBD21ACABHL90FCABCRtDEFRtDFACDEABABCDEFOAPCCOBPDDPDPCDPOCPOBDAEEBDCFFCDABCFAECDAB//ABCDCDABADEBADFCDFAEDEAF63．在中，，，是过点的一条直线，且于，于.⑴当直线处于如图1的位置时，猜想、、之间的数量关系，并证明.⑵请你在图2选择与⑴不同位置进行操作，并猜想⑴中的结论是否还成立？加以证明；⑶归纳⑴、⑵，请你用简洁的语言表达、、之间的数量关系.4.如图，，于.求证：平分，5.如图，，，于，于.求证：6.如图，在和中，、分别是高，并且，，.求证：≌7.如图，、、、在同一条直线上，于，于，，.探究与的关系，并说明理由.ABC90BACACABAEAAEBDDAECEEAEBDDECEBDDECEACABBCADDADBACCDBDACABAFAEECAEEFBAFF21ABCCBACDDCCAACDCCDBCAACBABCCBAAEFBCEACCDFBDDBFAEBDACCFDE7全等的综合判定一．全等三角形的性质：全等三角形的对应角，对应边.二．全等三角形的判定：1.判定两个三角形全等的方法有：⑴________________________________________的两个三角形全等()．⑵________________________________________的两个三角形全等()．⑶________________________________________的两个三角形全等()．⑷________________________________________的两个三角形全等(AAS)．2，判定两个直角三角形全等的方法还有：_______________________的两个直角三角形全等()．三．例题：1.如图，，，.猜想线段、的关系，并说明理由.2.已知，，，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明.3.如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断与面积之间的关系，并说明理由．SSSSASASAAASHLOBOAODOC90CODAOBACBDDEAB//DEABDCAFABCABACABDEACFGEGABCAEG8全等三角形问题中常见的辅助线的作法巧添辅助线一——1倍长中线【夯实基础】例1：ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC【经典例题】例2：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC中，ACAB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE2截长补短法引辅助线CDABFEDABC第1题图ABFDECEDABC9EDCBA例1.如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD例2如图1-2，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。例3、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。图1-2ADBCEF103与角平分线有关的辅助线角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种：①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。（1）截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例1．已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC例2．已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD例3如图，ABAC,∠1=∠2，求证：AB－ACBD－CD。图1-3ABCDE图1-4ABCDE图1-1OABDEFC11OEDCBA例4如图，BCBA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。例5如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。例6、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD12ACDBBDCAABECD12（2）角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1．如图2-1，已知ABAD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180°例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求证：BC=AB+AD例3．已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC的平分线也经过点P。（3）作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。一、已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=21（AB-AC）图2-1ABCDEF图2-2ABCDE图2-3PABCMNDF图示3-1ABCDHE13FEDCBA二、已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。4出现中垂线：连接两端做辅助线1、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=，求AE、BE的长.5、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。图3-2DABEFCEDGFCBA14NMEFACBA（1）当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。例3如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为；应用：1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC∠，BCDNMA1560MBN∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，．当MBN∠绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．当MBN∠绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．2、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、（图1）（图2）（图3）16NC、