12.3角平分线的性质1

知识回顾：三角形全等的判定条件：SSSSASASAAAS(1)解题中常用的4种方法(2)HL直角三角形全等用书写全等式时要求字母位置对应复习提问1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA122、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。PABOPO的长度不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？AOBC再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？对折如果把纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？如图，是一个平分角的仪器,其中AB=AD，CB=CD,将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角的平分线。你能说明它的道理吗？ABCDE12探究【证明】在△ACD和△ACB中AD=ABDC=BCCA=CA∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB∴AC平分∠DAB经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？小组内互相交流一下吧！尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＯＭＮＣ画法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．Ｃ探究与发现练习：平分平角∠AOB归纳：“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法。ABOCD探究角平分线的性质(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.AOBAOBP已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中∴PD=PE∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO≌△PEO（AAS）DPEAOBC角平分线上的点到角的两边的距离相等.用符号语言表示为：∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.PAOBCED12角平分线的性质推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等BADOPEC定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。定理的作用：证明线段相等如图，∠1=∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D．AE，BD交于点C，试说明AC=BC．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理，PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.DPMNABCFE想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.如图，∵AD平分∠BAC（已知）∴=，()角的平分线上的点到角的两边的距离相等ADCBBDCD×∵DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，()角的平分线上的点到角的两边的距离相等ADCBBDCD×∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴=，（）DBDC角的平分线上的点到角的两边的距离相等ADCB√不必再证全等∵OC是∠AOB的平分线，又________________∴PD=PE()PD⊥OA，PE⊥OBBOACDPE角的平分线上的点到角的两边的距离相等如图,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E,F,DE=DF,∠EDB=60°,则∠EBF=度，BE=。60BFABCDEF