关于全等三角形的旋转难题

..旋转已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE，（1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证：△ADC≌△CEB；（2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD；（3）如图3，当CE在△ABC的外部时，试猜想ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE，进而根据AAS证明△ADC≌△CEB．（2）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD．（3）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，进而得到ED=AD+BE．解答：（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC与△CEB中∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）．（2）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC与△CEB中∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴DC=BE，AD=CE．又∵ED=CD-CE，∴ED=BE-AD．（3）ED=AD+BE．证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC与△CEB中∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴DC=BE，AD=CE．又∵ED=CE+DC，∴ED=AD+BE．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应边相等进行等量交换，证明线段..之间的数量关系，这是一种很重要的方法，注意掌握3.如图1、图2、图3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？（3）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：（1）根据等腰三角形的两腰相等进行解答．（2）证明△DOB≌△COA，根据全等三角形的对应边相等进行说明．解答：解：（1）相等．在图1中，∵△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OA=OB，OC=OD，∴0A-0C=0B-OD，∴AC=BD；（2）相等．在图2中，0D=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA，∴BD=AC．点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角．4.（2008河南）．（9分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题；探究型．分析：此题的两个小题思路是一致的；已知∠QAP=∠BAC，那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得∠QAB=∠PAC；而根据旋转的性质知：AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS证得△ABQ≌△ACP，进而得出BQ=CP的结论．解答：证明：（1）∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，..即∠QAB=∠CAP；在△BQA和△CPA中，AQ=AP∠QAB=∠CAPAB=AC，∴△BQA≌△CPA（SAS）；∴BQ=CP．（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，即∠QAB=∠PAC；在△QAB和△PAC中，AQ=AP∠QAB=∠PACAB=AC，∴△QAB≌△PAC（SAS），∴BQ=CP．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键．5.（2009山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片ABC△和DEF△．且ABC△≌DEF△。将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把DEF△绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．①当DEF△旋转至如图②位置，点()BE，CD，在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系是．②当DEF△继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？AO与DO存在怎样的数量关系？请说明理由．点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）根据外角的性质，得∠AFD=∠D+∠ABC，∠DCA=∠A+∠ABC，从而得出∠AFD=∠DCA；（2）成立．由△ABC≌△DEF，可证明∠ABF=∠DEC．则△ABF≌△DEC，从而证出∠AFD=∠DCA；（3）BO⊥AD．由△ABC≌△DEF，可证得点B在AD的垂直平分线上，进而证得点O在AD的垂直平分线上，则直线BO是AD的垂直平分线，即BO⊥AD．解答：解：（1）∠AFD=∠DCA（或相等）．（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下：方法一：由△ABC≌△DEF，得AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF．∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF，∴∠ABF=∠DEC．在△ABF和△DEC中，AB=DE∠ABF=∠DECBF=EC..FEDCBA∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC．∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF．∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，∴∠AFD=∠DCA．方法二：连接AD．同方法一△ABF≌△DEC，∴AF=DC．由△ABC≌△DEF，得FD=CA．在△AFD≌△DCA，AF=DCFD=CAAD=DA∴△AFD≌△DCA，∠AFD=∠DCA．（3）如图，BO⊥AD．方法一：由△ABC≌△DEF，点B与点E重合，得∠BAC=∠BDF，BA=BD．∴点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD=∠BDA．∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF，∴∠OAD=∠ODA．∴OA=OD，点O在AD的垂直平分线上．∴直线BO是AD的垂直平分线，BO⊥AD．方法二：延长BO交AD于点G，同方法一，OA=OD．在△ABO和△DBO中，AB=DBBO=BOOA=OD∴△ABO≌△DBO，∠ABO=∠DBO．在△ABG和△DBG中，AB=DB∠ABG=∠DBGBG=BG∴△ABG≌△DBG，∠AGB=∠DGB=90°．∴BO⊥AD．点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握．例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：延长EB使得BG=DF，易证△ABG≌△ADF（SAS）可得AF=AG，进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．解答：解：延长EB使得BG=DF，在△ABG和△ADF中，由AB=AD∠ABG=∠ADF=90°BG=DF，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°，∴∠EAF=45°．答：∠EAF的角度为45°．点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠EAG=∠EAF是解题的关键．..NMEFACBA例2D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1）当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：（1）连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，则∠BCD=45°，∠CDA=90°，由∠DM⊥DN得∠EDF=90°，根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根据全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到结论；（2）由△DCE≌△ADF，则S△DCE=S△ADF，于是四边形DECF的面积=S△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得S△ACD，从而得到四边形DECF的面积．解答：解：（1）连CD，如图，∵D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，∴∠BCD=45°，∠CDA=90°，∵∠DM⊥DN，∴∠EDF=90°，∴∠CDE=∠ADF，在△DCE和△ADF中，∠DCE=∠DAFDC=DA∠CDE=∠ADF，∴△DCE≌△ADF，∴DE=DF；（2）∵△DCE≌△ADF，∴S△DCE=S△ADF，∴四边形DECF的面积=S△ACD，而AB=2，∴CD=DA=1，∴四边形DECF的面积=S△ACD=12CD•DA=12．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC∠，60MBN∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，．当MBN∠绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．当MBN∠绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（图1）ABCDEFMN（图2）ABCDEFMN（图3）ABCDEFMN..2、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．图1图2图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时LQ；（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用x、L表示）．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）由DM=DN，∠MDN=60°，可证得△MDN是等