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山东大学《数学分析III》期末复习参考题题号一二三四总分得分一、填空题（共10小题，40分）1、设函数f(x,y)在有界闭区域D上有界，把D任意分成几个小区域Δσi(i=1,2,…,n)，在每一个小区域Δσi上任取一点(ξi,ηi),如果极限存在(其中入是___________________)，则称此极限值为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作2、设uxyxy=+cosh()cos()，则du=______________.3、设f(t)为连续函数，则由平面z=0，柱面x2+y2=1和曲面z=[f(xy)]2所围立体的体积可用二重积分表示为___________________________________________.4、函数zxy=+22在闭域Dxy:+≤1上的最小值是______________.5、设函数Fuv(,)具有一阶连续偏导数，且FFuv(,),(,)264262−=−=，则曲面Fxyzxyz(,)++=0在点(,,)321−处的切平面方程为______________.6、极限limarctan()xyxyxy→→++1033=_______.7、函数arcsin()xy22+的定义域为_______.8、设f(x,y)是连续函数，则二次积分交换积分次序后为__________.9、设D：x2+y2≤2x,由二重积分的几何意义知=________.10、设向量场A=(z3+xy)i+(y3+2yz)j+(x3+3zx)k,则A的旋度rotA=__________.二、选择题（共5小题，20分）1、设L是xoy平面上的一条光滑曲线弧，函数f(x,y)在L上有界。用L上的点M1，M2，…Mn－1把L分成n个小段。设第i个小段的长度为ΔSi·(ζi,ηi)为第i小段上的一点，i=1,2,…,n。则函数f(x,y)在曲线L上的对弧长的曲线积分()(A)∑=∆niiiSf1),(ληξ(B)∑=→∆niiiSf10),(limλληξ(C)∑=→∆niiiSf10),(limλληξ,且极限值与L的分法无关，与(ξi,ηi)的取法无关。(D)∑=→∆niiiSf10),(limλληξ，其中ΔSi必须有相等的长度。其中入为ΔSi的长度的最大值。2、设C的曲线方程为，则()3、设uyx=arctan，则∂∂ux=()(A)−+yxy22(B)xxy22+(C)yxy22+(D)−+xxy224、曲线xtytzt===,,42在点(,,)4816处的法平面方程为()(A)xyz−−=−8132(B)xyz++=8140(C)x-y+8z=124(D)xyz+−=81165、设C1、C2是围住原点的两条同向的封闭曲线。若已知(常数)，则()(A)一定等于K；(B)一定等于－K；(C)不一定等于K，与C2形状有关；(D)不一定等于K，但与C2形状无关。三、计算题（共3小题，30分）1、求函数zxyexy=++ln()22的全微分。2、函数zzxy=(,)由方程eyzxexz++=++21ln()所确定，求∂∂2200zyxy==。3、LdyxdxyL∫+,是以A(1,0),B(0,1)及E(-1,0)为顶点的三角形正向周界；四、证明题（10分）设fxyAxBxyCyDxEyF(,)=+++++22222，且ABAC−002,，证明存在一点(,)xy00，使得fxy(,)00为极小值。《数学分析III》期末试卷15答案与评分标准一、填空题（共10小题，40分）1、△σi(i=1,2,…,n)的最大直径。2、[]sinh()sin()(dd)xyxyyxxy−+3、[f(xy)]2dxdy.4、zzmin(,)==0005、54140yz−+=6、arctan14=π7、xy221+≤8、dyf(x,y)dx.9、π10、{－2y,3z2－3x2－3z,－x}.二、选择题（共5小题，20分）CCABC三、计算题（共3小题，30分）1、解：∂∂∂∂zxxyexyezyyxexyexyxyxyxy=+++=+++222222,（8分）[]d()d()dzxyexyexyxeyxyxyxy=+++++12222（10分）2、解：当xy==00,时,z=1ezzyzzyy⋅++=0∂∂zyexy===−001(4分)ezezzyzzyzyyyyy⋅+++=()220∂∂220021zyexy===(10分)3、解：xxyAB,1:−=从1变至0；xxyBE,1:+=从0变至-1xyEA,0:=从-1变至1(4分)原式dyxdxyEABEAB+++=∫∫∫∫∫−−=+−++−−=011010)1()1(dxxxdxxx(10分)四、证明题（10分）证明：由=++==++=02220222ECyBxfDByAxfyx，得驻点),(00yxP其中xBECDACByBDAEACB0202=−−=−−,（4分）DffffABBCxxxyyxyy==2222DPACBfPAxx()(),()=−=40202（8分）故函数fxy(,)在点Pxy(,)00处取极小值fxy(,)00。（10分）