必修五数列和解三角形专题训练

第1页（共14页）必修五数列和解三角形专题训练-3一．解答题（共18小题）1．已知f（x）=2sinx，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{an}，n∈N*．求数列{an}的通项公式；2．若数列{an}的前n项和为Sn=n2﹣10n（n∈N*），求此数列的通项公式．3．等差数列{an}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，求：．4．已知函数f（x）=，数列{an}是首项等于1且公比等于f（1）的等比数列；数列{bn}首项b1=，满足递推关系bn+1=f（bn）．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．第2页（共14页）5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，S5=15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=2an，求数列{bn}的前n项和Tn．6．已知数列{an}中，an=3×（）n，试用定义证明数列{an}是等比数列．7．已知数列{an}是公差d为正数的等差数列，a1和a3是方程x2﹣8x+7=0的两根．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．8．在△ABC中，若角A、B、C成等差数列．（1）求cosB的值；（2）若a、b、c成等比数列，求sinAsinC的值．9．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，A为B，C的等差中项．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c的值．第3页（共14页）10．在等差数列{an}中，a2=3，a8=9．（1）求{an}的通项公式an；（2）求的前n项和Sn．11．（1）等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，S10=120，求an；（2）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，﹣≤x≤，求f（x）的值域．12．已知数列{an}满足a1=1，且点P（an，an+1）在直线y=x+2上；数列{bn}的前n项和为Sn，满足Sn=2bn﹣2，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn}满足cn=anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．13．已知f（x）=cos2（﹣x）﹣（cosx﹣sinx）2﹣．（1）求f（x）的单调区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，且a=1，求△ABC周长的最大值．第4页（共14页）14．已知函数f（x）=4cosxsin（x+）+m（m∈R），当x∈[0，]时，f（x）的最小值为﹣1．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）在△ABC中，已知f（C）=1，AC=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．15．设函数f（x）=x．（1）当时，求f（x）的最大值；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，，且C为锐角，c=，求a﹣b的取值范围．16．已知函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）+sin2x（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（）=，a=2，b=，求c的值．17．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．18．已知f（x）=sin2x+sinxcosx﹣．（1）求f（x）的单调增区间；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b+c=4，求a的取值范围．第5页（共14页）必修五数列和解三角形专题训练-3参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．（2017•河南一模）已知f（x）=2sinx，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{an}，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn=，设数列{bn}的前n项和为Tn，求证Tn＜．【解答】解：（1）f（x）=2sinx，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，则：解得：x=2k+1（k∈Z），所以M={x|x=2k+1，k∈Z}把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{an}，∵M={1，3，5，…，2k+1}，k∈Z，所以：an=2n﹣1．证明：（2）记bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，=所以：Tn=b1+b2+…+bn++…+）=2．（2016春•巴彦淖尔校级月考）若数列{an}的前n项和为Sn=n2﹣10n（n∈N*），求此数列的通项公式．【解答】解：由Sn=n2﹣10n（n∈N*），得a1=﹣9；当n≥2时，2n﹣11．验证a1=﹣9满足上式，∴an=2n﹣11．第6页（共14页）3．（2015•南昌校级二模）等差数列{an}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，求：．【解答】解：（I）∵a1、a4、a13成等比数列．∴，∴（3+3d）2=3（3+12d），化为d2﹣2d=0，d≠0，解得d=2．∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．（II）由（I）可得：Sn==n（n+2），∴．∴=++…+=．=﹣．4．（2015•南昌模拟）已知函数f（x）=，数列{an}是首项等于1且公比等于f（1）的等比数列；数列{bn}首项b1=，满足递推关系bn+1=f（bn）．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=，则：f（1）=由于：数列{an}是首项等于1且公比等于f（1）的等比数列，所以：数列{bn}首项b1=，满足递推关系bn+1=f（bn）．则：第7页（共14页）整理得：所以：{}是以为首项，3为公差的等差数列．解得：（Ⅱ）则：Tn=c1+c2+…+cn=n﹣1①=n②则：①﹣②得：所以：5．（2015秋•昭通校级期末）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，S5=15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=2an，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）由等差数列的性质可知：S3=3a2=6，S5=5a3=15．∴a2=2，a3=3，∴a1=1，d=1，∴数列{an}的通项公式an=n；…（5分）（2），∴数列{bn}的前n项和Tn，Tn=2+22+23+…+2n，=，=2n+1﹣2，∴数列{bn}的前n项和…（10分）6．（2015春•新疆校级期中）已知数列{an}中，an=3×（）n，试用定义证明数列{an}是等比数列．【解答】证明：∵数列{an}中，an=3×（）n，第8页（共14页）∴当n≥2时，==，∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为．7．（2015春•宣城校级月考）已知数列{an}是公差d为正数的等差数列，a1和a3是方程x2﹣8x+7=0的两根．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{an}是公差d为正数的等差数列且a1和a3是方程x2﹣8x+7=0的两根，解方程可得a1=1，a3=7，∴公差d==3，∴数列{an}的通项公式an=1+3（n﹣1）=3n﹣2；（Ⅱ）数列{an}的前n项和Sn=n+×3=8．（2015春•义乌市校级月考）在△ABC中，若角A、B、C成等差数列．（1）求cosB的值；（2）若a、b、c成等比数列，求sinAsinC的值．【解答】解：（1）由角A、B、C成等差数列，则2B=A+C，再由三角形内角和A+B+C=180°，则B=60°，即cosB=；（2）由a、b、c成等比数列，则b2=ac，再有余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可知（a﹣c）2=0，即a=c，再由（1）知B=60°，则三角形△ABC为等边三角形，即A=B=C=60°．则sinAsinC=sin60°sin60°=•=．9．（2014秋•辽宁校级期末）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，A为B，C的等差中项．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c的值．【解答】解：（1）由题意可得2A=B+C，又A+B+C=π，∴A=，第9页（共14页）（2）由余弦定理可得22=b2+c2﹣2bc•，化简可得4=（b+c）2﹣3bc，①由面积公式可得bc•sin=，化简可得bc=4，②代入①式可得4=（b+c）2﹣12，解得b+c=4，③联立②③可得b=c=210．（2014春•贵阳期末）在等差数列{an}中，a2=3，a8=9．（1）求{an}的通项公式an；（2）求的前n项和Sn．【解答】解：（1）由题意可得等差数列{an}的公差d==1，故an=a2+（n﹣2）d=3+n﹣2=n+1…（4分）（2）可得=2n+1，故数列{}为4为首项，2为公比的等比数列，故Sn==2n+2﹣4…（8分）11．（2017•凉山州模拟）（1）等差数列{an}的各项均为正数，a1=3，前n项和为Sn，S10=120，求an；（2）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，﹣≤x≤，求f（x）的值域．【解答】解：（1）由题意得设数列{an}的公差为d，此时==120，解得d=2，∴an=a1+（n﹣1）d=2n+1．（2）∵f（x）=2==2sin（2x+），﹣，又﹣，从而0，∴2x+=0时，f（x）min=0，2x+时，f（x）max=2，故函数f（x）的值域为[0，2]．第10页（共14页）12．（2017•历下区校级三模）已知数列{an}满足a1=1，且点P（an，an+1）在直线y=x+2上；数列{bn}的前n项和为Sn，满足Sn=2bn﹣2，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn}满足cn=anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵点{an，an+1）在直线y=x+2上，∴an+1=an+2，即an+1﹣an=2，又a1=1，∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等差数列，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1当n=1，b1=2b1﹣2，则b1=2当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2﹣（2bn﹣1﹣2）=2bn﹣2bn﹣1，∴bn=2bn﹣1（n≥2），∴{bn}是等比数列，公比为2，首项b1=2．∴bn=2n，（Ⅱ））∵cn=anbn=（2n﹣1）•2n，∴Tn=1•21+3•22+…+（2n﹣1）•2n，①2Tn=1•22+3•23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，②①﹣②得：﹣Tn=21+2（22+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=﹣2+2×﹣（2n﹣1）•2n+1=﹣6+（3﹣2n）•2n+1，∴Tn=（2n﹣3）•2n+1+6，∵该数列Tn=（2n﹣3）•2n+1+6为递增数列，∴当n=1时，有最小值为2，13．（2017•彭泽县模拟）已知f（x）=cos2（﹣x）﹣（cosx﹣sinx）2﹣．（1）求f（x）的单调区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，且a=1，求△ABC周长的最大值．【解答】解：（1）=，∴由，得其增区间为：；由，得其减区间为：．第11页（共14页）（2）∵由题意知，∴．又由正弦定理，知：，，则△ABC的周长为=．由，知：，则有，，∴△ABC的周长的最大值为3．14．（2017•泰安一模）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）+m（m∈R），当x∈[0，]时，f（x）的最小值为﹣1．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）在△ABC中，已知f（C）=1，AC=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）+m=4cosx（sinxcos+cosxsin）+m=sin2x+2cos2x+m=sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+