关于流体力学符号表示

流体运动学预备知识一、预备知识（一）矢量的点积和叉积1.矢量的点积设有两个矢量zyxaaa,,a和zyxbbb,,b，其夹角为，这两个矢量的点积为标量，可以表示为abababababxxyyzzcos（1）如果两个矢量a和b互相垂直，其点积为零，即ab0（2）2.矢量的叉积设有两个矢量aaaaxyz,,和bbbbxyz,,，其夹角为，其叉积为矢量，可以表示为kjicba)()()()sin(xyyxzxxzyxxyzyxzyxbababababababbbaaakjiab（3）式中：i，j，k——沿zyx,,坐标方向的单位矢量；c——垂直于a和b两个矢量的单位矢，用右手螺旋法可确定c的作用方向。如果两个矢量a和b互相平行，其叉积为零，ab0（4）3.矢量的混合积zyxzyxzyxcccbbbaaa)cb(a（5）矢量的混合积是一个标量。（二）哈密顿算符在矢量场的计算分析中，经常要用到一个矢量微分算符：ijkxyz（6）这个算符被称为哈密顿算符，也称为矢量微分算符。对于哈密顿算符应有以下几点理解：（1）把看成一个矢量，在笛卡儿坐标系中的三个坐标分量为xyzxyz,,（7）（2）把看成一个微分算符，对紧随其后的标量或矢量有微分作用，但对位于前面的标量或矢量没有微分作用。zayaxazyxa（8）zayaxazyxaaaaa)(（9）b)a()a(bb)a(abbaababcccc)(（10）（3）只是个算符，其本身并没有实际的物理意义，只有当和具体的标量或矢量相结合时才有明确的物理意义。①标量函数的梯度作用于标量函数),,(zyxF，便有FxyzFFxFyFzgradF()ijkijk（11）F是标量函数F的梯度。②矢量函数的散度与矢量函数),,(zyxa点积，根据矢量点积法则可得akjikjiadivzayaxaaaazyxzyxzyx)()()(（12）a表示矢量a的散度。③矢量函数的旋度与矢量函数),,(zyxa叉积，根据这两个矢量叉积的法则可得akjikjikjikjiarotyaxaxazazayaaaazyxaaazyxxyzxyzzyxzyx)()()()()(（13）在矢量数学中，已证明式（25）是矢量a的旋度。（三）拉普拉斯（Laplace）算符在流体力学中经常会遇到拉普拉斯算符，其定义2222222xyz（14）对某一标量函数作梯度运算后再作散度运算，可得FFzyxF2222222)(（15）（四）流动方程表达式中的张量记法（1）以321,,xxx表示zyx,,三个坐标，合并起来可用)3,2,1(ixi表示。（2）所有的运动量均以下标表示运动要素的分量。如)3,2,1(iui代表zyxuuu,,，下标有时也用j或k表明，如不特别指明，下标均代表三个分量。（3）在方程的同一项中，如果有一个下标符号重复出现，表示这个下标符号分别为1,2,3时的各项之和。如332211xuxuxuxuii（16）332211aaaaii（17）（4）在方程的同一项中，如果两个下标不相同，表示9个独立的分量。如uxij表示9个独立的分量332313322212312111xuxuxuxuxuxuxuxuxu（18）