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24.2.2垂径分弦问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？O观察现象：想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：你能得到什么结论？圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。它有无数条对称轴●O垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（A）BDCOEA垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。（A）BDCOEA2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.●OABCDM└CD⊥弦AB,如图∵CD是⊙O的直径（⊙O中，CD经过点O）,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.AM=BM⊙O中CD为直径CD⊥AB于M⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.符号语言：判断下列图形，能否使用垂径定理？【解析】定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，故前三个图均不能，仅第四个图可以！【定理辨析】OCDBAOCDBAOCDBAOCDECCOABDOEABCODABODABC应用垂径定理的几个基本图形请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。O探究：ABDCE如图，若直径CD平分弦AB交AB于E时，你认为都有哪些结论成立？ABDCOEABOECDAB是弦，但不能是直径时，才有垂直AB，平分AB所对的两条弧。·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧垂径定理及其的推论：直线CD（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的劣弧（5）平分弦所对的优弧以上五个中只要符合两个条件，就能得到其它三个结论。APDCBO┓1、填空：如图，在⊙O中（1）若MN⊥AB，MN为直径；则（），（），（）；（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则（），（），（）；（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则（），（），（）；（4）若AM＝BM，MN为直径，则（），（），（）。COBAMN2、判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）×√××√例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，圆心O到AB的距离为3㎝，求圆O的半径.EOAB【解析】根据题意得，AE=4cmOE⊥ABOE=3cm在Rt△OEA中，根据勾股定理得：AO2=OE2+AE2=32+42=25，AO=5cm.【例题】问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？ABODC解：用AB表示主拱桥，设AB所在圆的圆心为O，过点O作AB的垂线交AB于C。由垂径定理可知，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高。AB=37.4，CD=7.2，∴AD=18.7，设OA=OC=ROD=OC-CD=R-7.2.在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2即R2=18.72+(R-7.2)2解得R≈27.9因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。例3已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC与BD相等吗？为什么？P.ACDBO注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．1.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．AE＝OEB．CE＝DE12CEC．OE＝D．∠AOC＝60°B【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6.答案：62.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是．3.（安徽·中考）如图，⊙O过点B，C.圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）A.B.C.D.【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则AD==3,∴OD=3-1=2,∴OB=1032231312BC222313.通过本课时的学习，需要我们：1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明.2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.【作业布置】习题：24.23、4OABCD变式1：AC，BD有什么关系？变式2：AC＝BD依然成立吗？OABCDOABCDFE变式3：EA＝____,EC=_____.FDFBOABCD变式4：______，AC=BD.OA=OBOABCD变式5：______，AC=BD.OC=OD【归纳】当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的潜力，只要立志发挥它，就一定能渡过难关。倘若你想达成目标，便得在心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。心等待,就可以每一个人都具有特殊能力的电路，但大多数人因为不知道，所以无法充分利用，就好像怀重宝而不知其在；只要能发掘出这项秘藏的能力，人类的能力将会完全大改观，也能展现出超乎常人的能力我这一生不曾工作过，我的幽默和伟大的著作都来自于求助潜意识心智无穷尽的宝藏。那些最能干的人，往往是那些即使在最绝望的环境里，仍不断传送成功意念的人。他们不但鼓舞自己，也振奋他人，不达成功，誓不休止。灵感并不是在逻辑思考的延长线上产生，而是在破除逻辑或常识的地方才有灵感。真正的强者，善于从顺境中找到阴影，从逆境中找到光亮，时时校准自己前进的目标。每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。失败是坚忍的最后考验。对于不屈不挠的人来说，没有失败这回事。一次失败，只是证明我们成功的决心还够坚强。失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。我们关心的，不是你是否失败了，而是你对失败能否无怨什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。没有人事先了解自己到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。对于不屈不挠的人来说，没有失败这回事。要成功不需要什么特别的才能，只要把你能做的小事做得好就行了。成功的唯一秘诀——坚持最后一分钟。只有胜利才能生存，只有成功才有代价，只有耕耘才有收获。只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。不要为已消尽之年华叹息，必须正视匆匆溜走的时光。当许多人在一条路上徘徊不前时，他们不得不让开一条大路