环境统计学概率基础2

1环境统计学（EnvironmentalStatistics）2环境统计学•第1章绪论•第2章概率统计基础•第3章环境一元线性回归分析•第4章环境多元线性回归分析•第5章环境系统聚类分析•第6章环境模糊聚类分析•第7章环境判别分析•第8章环境主成分分析•第9章环境因子分析•第10章人工神经网络•第11章环境空间统计分析3第二章概率统计基础4随机事件随机试验随机事件事件的运算概率概率古典概率概率计算数学特征数学期望方差变异系数协方差相关系数概率数学特征随机事件概率分布正态分布t分布x2分布F分布概率分布统计推断参数估值点估计区间估计置信区间假设检验统计推断概率统计基础5关键词与基本概念随机变量概率分布随机变量的特征数随机试验随机事件样本空间概率第一节随机事件6(1).试验：对自然现象进行一次观察或进行一次科学实验，称为一次试验。1.随机试验(2).随机试验：为了研究随机现象,就要对客观事物进行观察.Examples:掷一枚硬币，测烟气中SO2含量第一节随机事件72.随机试验例：抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；特点:•在相同的条件下试验可以重复进行;•每次试验的结果具有多种可能性,而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果;•在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果.第一节随机事件8给定一个试验,所有可能的结果的全体构成一个集合,这个集合称作样本空间,用大写的希腊字母表示,这个样本空间中的每一个元素也称作此样本空间的一个样本点,可以用小写的希腊字母表示.3.样本空间第一节随机事件σξψυφ衣普西隆斐西格马可塞普西9试验和样本空间的例子1)掷一次硬币为一个试验,则有两个可能的试验结果,正面和反面,则={正面,反面}2)掷一次骰子为一个试验,则有六个可能的试验结果,1点,2点,3点,4点,5点和6点,因此样本空间为={1点,2点,3点,4点,5点,6点}第一节随机事件103)掷两次硬币作为一次试验,将两次试验结果排序,则共有四种可能的结果:(反,反),(反,正),(正,反),(正,正)因此样本空间={(反,反),(反,正),(正,反),(正,正)}第一节随机事件114)掷两次骰子作为一次试验,将两次试验结果排序,则共有36种可能的结果:={(x,y)|x,y=1,2,3,4,5,6}={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}第一节随机事件12•例如,掷两次硬币这个试验,事件A=“至少一次正面朝上”包括三个样本点(正,反),(反正),(正正).也可以表示为A={(正,反),(反,正),(正正)}4.随机事件随机事件就是样本空间的子集,或者说事件就是试验结果的集合,通常用大写英文字母A,B,C,…等表示.•掷两次骰子的试验,事件B=“两次点数相同”,则B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}第一节随机事件我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现。13几个特殊的事件•基本事件:只包括一个样本点,或者说一个试验结果的事件称为基本事件.•必然事件:包括整个样本空间的所有元素的事件,或者就用表示,则每次试验必然发生,因此称为必然事件.•不可能事件:不包括任何元素的空集,即每次试验一定不会发生,称为不可能事件,用表示,则={}.第一节随机事件(1)事件的包含：BA或ABBA(2)事件的相等：A=B5.事件间的关系及其运算第一节随机事件15易知A+=A+=A(3)事件的并(和)：A+B或AB(4)事件的交(积)：AB或AB即A、B中至少有一个发生.易知A=AA=即A、B同时发生.第一节随机事件16A,,AAAAAA(5)对立事件(6)事件的差AB,ABABAAAB第一节随机事件17AB对立事件一定互不相容,但互不相容,事件未必对立.(7)互不相容事件AB=第一节随机事件18若事件A1,A2,…,An为两两互不相容事件,并且A1+A2+…+An=,称构成一个完备事件组或构成一个划分.A1A2A3A4最常用的完备事件组是某事件A与它的对立事件A(8)完备事件组AA第一节随机事件19事件的运算律交换律：结合律：分配律：德.摩根律：;;ABBAABBA()();()();ABCABCABCABC()()();()()();ABCABACABCABAC;.ABABABAB第一节随机事件20Example第一节随机事件栽两株树苗，A1=“第一株树苗成活”，A2=“第二株树苗成活”，试表示下列各事件：(1)两株树苗均成活；(2)至少一株树苗成活；(3)第一株成活而第二株未成活；(4)恰有一株成活；(5)不多于一株树苗成活。(1)A1A2;(2)A1+A2;(3)A1A2(4)A1A2+A1A2;(5)A1A2或A1+A2解：211.频率定义：记其中—A发生的次数(频数)；n—总试验次数。称为A在这n次试验中发生的频率。An()nAfAnn；()nfA1n；()121675%nfA()nfA某人一共听了16次“环境统计学”课，其中有12次迟到，记A={听课迟到}，则#频率反映了事件A发生的频繁程度。例：中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为第二节频率与概率22如果随机事件A在n次试验中发生了m次，称比值mn为随机事件A的频率，记为()nmFAn随机事件A发生可能性大小的数值称为随机事件A发生的概率(probability)，记为()PA频率具有稳定性。第二节频率与概率2.概率23“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为2.1的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获大奖.不少人被高额奖金所吸引，纷纷参与此游戏，却很少有人得到奖品，请用今天所学知识解释这是为什么。抛阶砖游戏学以致用24aaAS若中奖，金币圆心必位于右图的绿色区域A内.圆心随机地落在“阶砖”的任何位置，其概率为0022.01.2)21.2(22正方形面积绿色区域面积分析:253古典概型一个随机试验的样本空间为12{,,,},n满足以下性质：（1）样本点总数有限，即n有限；（2）每个样本点出现的概率相等，即121({})({})({})nPPPn称满足以上2个性质的模型为古典概型。第二节频率与概率26随机事件,A12{,,,},miiiA定义()mPAn称此概率为随机事件A的古典概率。0,mn0()1,PA()1,()0.PP第二节频率与概率27例1将一枚均匀对称的硬币抛3次，观察正反面，（1）写出样本空间；（2）设事件1A为“恰有一次出现正面”，求1();PA（3）设事件2A为“至少有二次出现正面”，求2().PA(,,),(,,),(,,),(,,)(,,),(,,),(,,),(,,)HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTT第二节频率与概率28例2从0，1，2，….,9十个数字中随机有放回地取7个数字，求下列事件的概率（1）A=7个数字全不相同；（2）B=不含0和1；（3）C=0恰好出现两次解：基本事件总个数为n=107（1）事件A出现次数m=,P(A)=（2）事件B出现次数m=,P(B)=（3）C出现次数m=,P(C)=710P771010P78771082759C7275109C第二节频率与概率29•例3：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球，记A={恰是一红一黄}，求P(A)．11235815()/53.6%28PACCC解：第二节频率与概率304.概率的计算i.加法公式：对任意两事件A、B，有P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)P(A+B+C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)该公式可推广该公式可推广到任意n个事件A1,A2,…,An的情形31___)(.6.03.0,4.0,BAPBABABA的概率则积事件和是的概率分别及和事件设随机事件0.6()()()()PABPAPBPAB解由已知得:例4(2004年研究生入学考试题)()()()()0.40.10.3PABPABPAPAB故()0.1PAB得0.40.3()PAB（熟记）32已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则AABnnABP)|(称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率一般地，设A、B是S中的两个事件，则)()(APABPnnnnAAB()(|)(1.4.1)()PABPBAPA(1)条件概率ii.乘法公式33例6设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率设A—第一次取到红球,B—第二次取到红球41)|()1(ABP2521322(2)()5PBP10112)()3(25PABP34设A、B，P（A）0,则P(AB)＝P(A)P(B|A).(1)式(1)就称为事件A、B的概率乘法公式。式(1)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).(2)一般地，有下列公式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).(3)(2)条件概率下的乘法公式35例7盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，则34312121124312()()(|)(|)(|)PAAAAPAPAAPAAAPAAAA=52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP36当A、B相互独立时，P(A|B)＝P(A),P(B|A)＝P(B)(2)独立事件的乘法公式ABP(AB)＝P(A)P(B)37定义事件组A1，A2，…，An(n可为)，称为样本空间Ω的一个划分，若满足：.,...,2,1,),(,)(;)(1njijiAAiiSAijiniiA1A2……………AnBiii.全概率公式38定理1.设A1，…,An是Ω的一个划分，且P(Ai)0，(i＝1，…，n)，则对任何事件BΩ有1()()(|)(1.7)niiiPBPAPBA=å＝式(1.7)就称为全概率公式。iii.全概率公式39例8有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；A2——从甲袋放入乙袋的是红球；B——从乙袋中任取一球是红球；12731433221)()|()()|()(2211APAB