GM(1-1)模型

第一章灰色系统作者区诗德1数模竞赛培训内容精选区诗德(玉林师范学院数学与计算机科学系,537000)第一章灰色系统1.有关灰色系统的基本概念及定理定义1.1设)0(X为原始序列))(,),2(),1(()0()0()0()0(nxxxX，D为序列算子))(,,)2(,)1(()0()0()0()0(dnxdxdxDX，其中kiixdkx1)0()0()()(;k=1,2,…,n．则称D为)0(X的一次累加生成算子，记为1-AGO．习惯上，记为))(,,)2(,)1(()0()0()0()0(dnxdxdxDX．定义1.2设序列X=))(,),2(),1((nxxx，我们称)1()()(kxkxk;nk,,3,2．为序列X的级比．称11)()()(kiixkxk;nk,3,2为序列X的光滑比．定义1.3若序列X满足011)()1(kk;.1,,3,2nk02],0[)(k;.,,4,3nk03.5.0则称X为准光滑序列．定义1.4称灰色微分方程bkazkx)()()1()0(或者其白化方程第一章灰色系统作者区诗德2baxdtdx)1()1(为GM(1,1)模型，其中)1(5.0)(5.0)()1()1()1(kxkxkz．定义1.5若],[)(,bakk,b-a=.则称序列X具有绝对灰度为的指数规律.定理1.1设)0(X为非负准光滑序列，则)0(X的一次累加生成序列)1(X具有准指数规律．2.建立GM(1,1)模型定理2.1设))(,),2(),1(()0()0()0()0(nxxxX为非负序列，)1(X为)0(X的1-AGO序列)1(Z为)1(X的紧邻均值生成序列：))(,),2(),1(()1()1()1()1(nzzzZ，其中)1(5.0)(5.0)()1()1()1(kxkxkz，k=1,2,…,n．记Tbaa),(ˆ为参数列，TnxxxY))(,),3(),2(()0()0()0(，111)()3()2()1()1()1(nzzzB．则灰色微分方程bkazkx)()()0()0(的最小二乘估计参数列YBBBaTT1)(ˆ．定理2.2(1)GM(1,1)白化方程baxdtdx)1()1(的解为abeabxtxat)0()()1()1(．(2)GM(1,1)灰色微分方程bkazkx)()()1()0(的解为abeabxkxak)0()1(ˆ)1()1(，k=1,2,…,n．(3)取)1()0()0()1(xx，则abeabxkxak)0()1(ˆ)0()1(，k=1,2,…,n．(4))(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0(kxkxkx，k=1,2,…,n．3.GM(1,1)模型检验定义3.1记),,,(21n为相对误差序列，为平均相对误差，称1为相对精度;若给定0，有且n，称模型为残差合格模型．第一章灰色系统作者区诗德3定义3.2设)0(X为原始序列，)0(ˆX为相应的模拟序列，为)0(X与)0(ˆX的绝对关联度，若对于给定的00，有0，则称模型为关联度合格模型．定义3.3设序列X与Xˆ长度相同，则称=|ˆ||ˆ|||1|ˆ|||1ssssss为序列0X与Xˆ的绝对关联度，其中|s|=)(21)()0(12)0(nxkxnk，|sˆ|=)(ˆ21)(ˆ)0(12)0(nxkxnk，|ssˆ|=))(ˆ)((21))(ˆ)(()0()0()0(12)0(nxnxkxkxnk．定义3.4设)0(X为原始序列，)0(ˆX为相应的模拟序列，)0(为残差序列．则称nkkxnx1)0()(1，21)0(21))((1xkxnSnk分别为)0(X的均值、方差；nkkn1)0()(1，2122))((1nkknS为残差的均值、方差．若均方比值12SSC，对于给定的0C0，有C0C．则称模型为均方差合格．若小误差概率)6745.0|)((|1SkPp，对于给定的0p0，有0pp．则称模型为小误差概率合格模型．说明：平均相对误差和模拟误差越小越好，关联度越大越好，均方差比值C越小越好(因为C小说明2S小1S大，即残差方差小，样本方差大)．小误差概率p越大越好．对于已建立的GM(1,1)模型是否有效，效果如何，一般地参考以下的精度检验表．表3-1精度检验等级参照相对误差关联度均方差比值小误差概率一级0.010.900.350.95二级0.050.800.50.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.604.应用实例第一章灰色系统作者区诗德4例1．某股票最近几天的收盘价如下11.83,12.03,12.38,12.25,12.25,12.65,12.73,12.36，试用GM(1,1)模型分析预测未来一天的收盘价．(1)对样本数据作1-AGO取))5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0(xxxxxX=(11.83,12.03,12.38,12.25,12.25)，作1-AGO得))5(),4(),3(),2(),1(()1()1()1()1()1()1(xxxxxX=(11.8300,23.8600,36.2400,48.4900,60.7400)．(2)对)0(X进行准光滑性检验由光滑比分式)1()()()1()0(kxkxk得)3(=0.5189，)4(=0.33800.5，)5(=0.25260.5．因此k3时光滑条件满足．(3)对)1(X进行准指数律检验由序列级比公式)1()()()1()1()1(kxkxk得)3()1(=1.5189，)4()1(=1.3380，)5()1(=1.2526．因此，当k3时，]5.1,1[)()1(k，=0.5，准指数律成立．故可对)1(X建立GM(1,1)模型．(4)对)1(X作紧邻均值生成))5(),4(),3(),2(()1()1()1()1()1(zzzzZ=(17.8450,30.05,42.3650,54.6150)．于是B=111154.6150-42.3650-30.0500-17.8450-，Y=)5()4()3()2()0()0()0()0(xxxx=25.1225.1238.1203.12．(5)由定理2.2得YBBBaTT1)(ˆ=0714.120043.0．因此序列)0(X的GM(1,1)模型为0714.120043.0)1()1(xdtdx．(1)第一章灰色系统作者区诗德5时间响应式为abeabxkxak)0()1(ˆ)1()1(=9.28008.28120043.0ke．表4-1GM(1,1)模型误差检验序号原始数据)()0(kx模拟值)(ˆ)0(kx残差)(k相对误差%)(k212.0312.1485-0.11850.99312.3812.20100.17901.45412.2512.2537-0.00370.03512.2512.3066-0.05660.46平方和0.0493平均相对误差0.58从误差检验表来看，此模型拟合的效果较好．(6)对模型(1)的检验我们从关联度，均方差比值0C，小误差概率0p来检验对数列)0(X=(11.83，12.03,12.38,12.25,12.25)建立的GM(1,1)模型)0(X0714.120043.0)1()1(xdtdx．1))0(X对)0(ˆX的灰色绝对关联度由原始数据与拟合数据算得|s|=42.7850，|sˆ|=42.7565，|ssˆ|=0.0285．因此关联度=|ˆ||ˆ|||1|ˆ|||1ssssss=0.99970.90．2)检验均方比21S=0.0379，1S=0.1948，22S=0.0099，2S=0.0993，12SSC=0.5098，=0.00004，0.67451S=0.1314．3)小误差概率)6745.0|)((|1SkPp=0.8．从以上指标来看，关联度达到了优级水平，其它指标也达到了良好水平．这说明所建立的模型是较好的模型，因此可用来预测未来股价．例如，用5天的数据预测未来一天的股价是12.3598．这与实际数据的绝对误差分别是0.2902．例2.以下用GM(1,1)模型来分析五洲交通的股价趋势．2001年2月15日至2月26日五洲交通的收盘价如下表4-2日期2月15日2月16日2月19日2月20日2月21日2月22日2月23日2月26日收盘11.6811.6911.8111.7211.4711.5011.7711.85第一章灰色系统作者区诗德6价对以上数据建立4维新陈代谢模型族即)0(1X(11.68,11.69,11.81,11.72)，)0(2X(11.69,11.81,11.72,11.47)，)0(3X(11.81,11.72,11.47,11.50)，)0(4X(11.72,11.47,11.50,11.77)．对1时区的原始数据建立GM（1,1）模型由于)1(1XAGO)0(1X，)1(1X（11.68,23.37,35.18,46.9），)1(Z(17.525,29.275,41.04)．因此11104.41275.29525.17B，912094.00425351.0333863.00000180846.057823.1042517.0B，TNY)72.11,81.11,69.11(．从而NYBuaa＝(－0.00127388,11.7027)T．故1时区的GM（1，1）模型为7027.1100127388.0)1()1(xdtdx．以上微分方程的解为235.9187)235.918768.11()1(ˆ00127388.0)1(tetx．还原后的模型值按)1(ˆ)(ˆ)(ˆ)1()1()0(txtxtx计算，可得模型值、实际值、绝对误差、相对误差如下表4-3模型值实际值绝对误差相对误差%)1()0(1x11.68)1()0(1x11.6800)2()0(1x11.725)2()0(1x11.690.0350.3)3()0(1x11.74)3()0(1x11.810.070.6)4()0(1x11.755)4()0(1x11.720.0350.3此模型的误差较为理想，不需要修正模型．第一章灰色系统作者区诗德7这模型的预测值为)5()0(1x11.7699，)6()0(1x11.7849，)7()0(1x11.8．事实上，下一天的收盘价为11.47，预测的绝对误差为0.3．再考察2时区的原始数据)0(2X(11.69,11.81,11.72,11.47)，其GM（1，1）模型为0927.120145379.0)1()1(xdtdx．以上微分方程的解为805.831)805.83169.11()1(0145379.0)1(tetx．还原后的模型值按)1()()()1()1()0(txtxtx计算得)1()0(2x11.69，)2()0(2x11.8365，)3()0(2x11.6656，)4()0(2x11.4973)5()0(2x11.3313，)6()0(2x11.1678，)7()0(2x11.0066．事实上，下一天的收盘价为11.50，预测的绝对误差为0.17．继续考察3时区的原始数据