1.1.2集合间的基本关系

瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页1．1.2集合间的基本关系首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场想一想：1．Venn图在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．2．子集(1)定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．(2)Venn图表示：当A⊆B时，如图1、图2所示．图1图23．集合相等(1)定义：如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.(2)Venn图表示：当A＝B时，如图所示．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场4．真子集(1)定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作(或)．(2)Venn图表示：当时，如图所示．5．空集(1)定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.(2)规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A；空集是任何非空集合的真子集，即∅(A≠∅)．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场做一做：1．下图所示的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，集合A，B，C，D，E分别对应的图形是________________________________________________________________________．解析：观察图形，看集合A、B、C、D、E的包含关系可得结论．答案：四边形，梯形，平行四边形，菱形，正方形首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，则(C)(A)A＞B(B)(C)(D)A⊆B解析：A、B集合表示在数轴上为∴，故选C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3．集合{a，b，c}的真子集有(B)(A)8个(B)7个(C)6个(D)5个解析：集合{a，b，c}的子集共有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中真子集有7个．故选B.4．下列五个关系式：①；②0∈{0}；③{0}＝∅；④∅∈{0}；⑤∅，其中正确的有(D)(A)①③(B)①⑤(C)②④(D)②⑤解析：①中“”是集合与集合的关系符号，符号用错；③中集合{0}中有元素0，故{0}不是空集；④中“∈”是元素与集合的关系符号，符号用错，∴选②⑤，答案为D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场知识要点一：子集的概念子集是集合间重要关系，理解子集的概念时要注意“任何一个元素”而不是某个或某些元素；还要注意符号“∈”与“⊆”的区别，并注意结合Venn图理解，表达子集关系．知识要点二：子集、真子集的几个性质性质1：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A，特别地，∅⊆∅.性质2：子集有传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；，C⇒性质3：空集是任何一个非空集合的真子集．子集包括集合的相等和真子集两种情况，理解真子集时要注意不但要求A⊆B，同时在B中至少要有一个元素不属于A.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场知识要点三：相等集合的子集描述集合相等的定义给出了我们证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B和B⊆A都成立即可．知识要点四：空集空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，要注意空集与{0}的区别：{0}是含有一个元素0的集合，因此有∅⊆{0}(或∅)，但不能犯概念错误：∅＝{0}．亦不可错误地将空集记为{∅}．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场子集的概念【例1】已知集合A＝{0,1,2}，且B⊆A，求集合B.思路点拨：B中的元素都属于A，故从A中取元素可得B，同时注意B为空集及和A相等的情况．解：集合B为∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}，{0,2}，{0,1,2}．求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求的集合．集合子集个数规律为：含n个元素的集合有2n个子集，其中空集和集合本身易漏掉．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练11：已知{a，b}⊆，b，c，d，e}，写出所有满足条件的A.解：∵{a，b}⊆A，∴a∈A，b∈A.又，b，c，d，e}，∴集合A为{a，b}、{a，b，c}、{a，b，d}、{a，b，e}、{a，b，c，d}、{a，b，c，e}、{a，b，d，e}．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场由集合的关系，确定参数的范围【例2】已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．思路点拨：A，B都是连续的数集，根据A和B的关系，利用数轴，求出a的取值范围．解：(1)若，由图可知a2.(2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.任何一个实数在数轴上均可用一个点来表示，反之，数轴上任何一点都代表一个实数，在数轴上表示一个不等式的取值范围，形象而直观，因此也广泛用于求子集的问题中．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练21：已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解：当B＝∅时，只需2a＞a＋3，即a＞3；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得a＋3≥2aa＋3＜－1或a＋3≥2a2a＞4，解得a＜－4或2＜a≤3.综上可得，实数a的取值范围为a＜－4或a＞2.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场方程的解的集合问题【例3】设集合A＝{x|x－1＝0}，B＝{x|x2－ax－2＝0}，若A⊆B，求a的值．思路点拨：将A中的元素1代入方程x2－ax－2＝0中可求a.解：∵A＝{1}，又∵A⊆B，∴1∈B.∴12－a·1－2＝0即a＝－1.关于方程解集的问题，首先要分析两个集合的可能的元素，再利用两集合的关系解决问题．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场空集问题【例4】给出下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③空集即集合{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3思路点拨：空集是一个特殊集合，要把握好空集的两个特性：①空集中不含任何元素，②空集是任何集合的子集．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场解析：①此命题错误，因为空集是其本身的子集，即∅⊆∅.②此命题错误，因为空集不是其本身的真子集．③此命题错误，{0}不是空集，是含有一个元素0的集合．④此命题错误，因为∅只有一个子集．故正确命题的个数为0，选A.空集是任何非空集合的真子集．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练41：集合M＝{x|x2＋2x－a＝0，x∈R}，且∅，则实数a的范围是()(A)a≤－1(B)a≤1(C)a≥－1(D)a≥1解析：∵∅，∴M为非空集合，即x2＋2x－a＝0有根，∴Δ＝4＋4a≥0，∴a≥－1.故选C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场证明相等集合的问题【例5】已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，求证A＝B.思路点拨：要证A＝B，只需证A⊆B，且B⊆A.证明：任取x∈A，x＝2k＋1＝2k＋2－1＝2(k＋1)－1.∵k∈Z，∴k＋1∈Z.∴x∈B，∴A⊆B.任取x∈B，x＝2k－1＝2k＋1－2＝2(k－1)＋1.∵k∈Z，∴k－1∈Z.∴x∈A，∴B⊆A.∴A＝B.在证明一个元素属于某集合时，关键看该元素是否符合其描述条件，再者要深刻理解描述条件的含义，不要仅看形式．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场利用Venn图判断集合间的关系【例6】设集合A＝{x|x是矩形}，B＝{x|x是四边形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是平行四边形}，指出A，B，C，D之间的关系．思路点拨：本题要明确平面图形中有关四边形关系的问题，画图问题即可得解．解：由图知，首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练61：某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格，若用A表示合格产品的集合，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合，则下列包含关系哪些成立？A⊆B，B⊆A，A⊆C，C⊆A试用Venn图表示这三个集合的关系．解：由题意得A⊆B，A⊆C成立，Venn图如图首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场基础达标1．集合A＝{x|0≤x3，且x∈N}的真子集的个数为(C)(A)16(B)8(C)7(D)4解析：A＝{x|0≤x3，且x∈N}＝{0,1,2}，故其真子集共23－1＝7(个)．2．若A⊆B，A⊆C且B＝{0,1,2,3}，C＝{0,2,4,5}，则下列选项中满足上述条件的非空集合A为(D)(A){0,1}(B){0,3}(C){2,4}(D){0,2}解析：∵A⊆B且A⊆C，∴非空集合A中的元素应为B与C的公共元素．故选D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，满足，则实数a的取值范围为(A)(A)a≥2(B)a≤1(C)a≥1(D)a≤2解析：在数轴上表示出两个集合，只要a≥2，就满足4．已知M＝{y∈R|y＝|x|}，N＝{x∈R|x＝m2}，则下列关系中正确的是(B)(A)(B)M＝N(C)M≠N(D)解析：∵M＝{y∈R|y＝|x|}＝{y∈R|y≥0}，N＝{x∈R|x＝m2}＝{x∈R|x≥0}，∴M＝N.故选B.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场5．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{a2}，并且B是A的真子集，则实数a的值为__________．解析：∵，∴a2∈A，则有：(1)a2＝1⇒a＝±1，当a＝1时与元素的互异性不符，∴a＝－1；(2)a2＝3⇒a＝±3；(3)a2＝a⇒a＝0，a＝1，舍去a＝1，则a＝0.综上：a＝－1，a＝±3或a＝0.答案：－1，±3，0首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场6．设集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且A⊇B，则实数k的取值范围组成的集合是__________．解析：因为A⊇B，所以2k－1≥－3且2k＋1≤2，解得：－1≤k≤12.答案：{k|－1≤k≤12}首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场能力提升7．同时满足①M⊆{1,2,3,4,5}，②a∈M，且6－a∈M，则非空集合M有(C)(A)16个(B)15个(C)7个(D)6个解析：M可能是{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个，故选C.8．若A⊆B，A⊆C，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{1,3,5,7,9}，则满足上述条件的集合A可为__________________．解析：A⊆B，A⊆C，所以A是集合{1,3,5}的子集，有8种可能，分别是∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．答案：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场9．设集合A＝{x|x(x＋4)(x－12)＝0，x∈Z}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B⊆A，求实数a的值．解：由