第九讲-分组与组式

第九讲分组与组式课本上的算题，多数是已经列好算式要求计算出结果。但在这一讲里，往往是知道结果或要达到的目标，请你回答如何才能得出这种结果或达到目标值。为此就要求同学们在掌握好以前所学数学知识的基础上，还要进一步做到：仔细地观察，发现题中给出的一些数中存在的规律，并且大胆地进行尝试，培养思维的灵活性和敏捷性。例1如下图所示把1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分成两部分，再组成两个数，填入下面的两个方框里，使两个数的和等于99999解：把九个数字分成两部分，组成两个数，要求相加之和由五个9组成，可见一个数应是五位数，且9应在最高位，另一个是四位数。把除9之外的其余八个数字分成四对，每对的和是9，它们应是1和8，2和7，3和6，4和5。它们可以组成以下算式，如：可见分组方法是多种多样的。例2给你1、2、3、4、16、17、18、19这八个数，要求：①把它们分成四组，使每组的两个数相加之和相等。②再用这八个数组成如下的两个算式。□+□-□=□□+□-□=□①解：仔细观察可发现：在这八个数中，前四个都是一位数，且后一个数比前一个数大1；后四个都是两位数，也是后一个数比前一个数大1。因此把它们互相搭配后，可使每组的两数之和相等。分组如下：（1，19）；（2，18）；（3，17）；（4，16）。可以看出，每组的两数之和都等于20。②解：如下图所示，由于1+19=2+18，3+17=4+16因此可以组成符合题目要求的算式如下：注意：符合题目要求的算式不只这些，同学们自己还可以再写出一些。例3在1、2、3、4、5、6、7之间放几个“+”号，使它们的和等于100，试试看。1234567=100解：对这类题目一是要大胆尝试，边想边写，千万不要只想不写！二是可以先考虑与目标值（此题是100）较接近的大数，再考虑用较小的数进行调整、修正，使式子的得数逐渐接近目标值，也就是使之转化为较简单的情况。（1）对此题可考虑先在67前面放一个“+”号，这样比100还小33，也就是说，转化成了较简单的情况：12345=33再考虑在23前放个“+”号，它比33还小10，这样问题又转化为：145=10这就很容易看出来了：1+4+5=10所以最后可以确定组成的算式是：1+23+4+5+67=100（2）此题还可以有另外的解法，边看边想可得出：34+56=90剩下的三个数：1+2+7=10所以最后可以组成如下的算式：1+2+34+56+7=100。例4某公园里有三棵树，它们的树龄分别由1、2、3、4、5、6这六个数字中的不同的两个数字组成，而且其中一棵的树龄正好是其他两棵树龄和的一半，你知道这三棵树各是多少岁吗？解：这道题的实质就是：把1、2、3、4、5、6六个数分成三组，每组两个数，组成二位数，使其中的两个二位数之和等于第三个二位数的2倍。顺便说一下，把生活中的趣味问题转化成为纯数学型的题目是一种重要的本领，同学们要从小就注意增强这种能力，以便将来能够运用数学知识解决实际工作中遇到的难题。仔细观察、大胆尝试，将这六个数分组、组合，可得出的三个数是：12，34，56，因为12+56=34×2即这三棵树的树龄是12岁、34岁、56岁。这道题有几种不同的答案，请你动动脑筋找出另外的答案。习题九1．用10、11、12、13这四个数编两道加减顺序不同的混合算式，要求算式符合下面的形式。□+□-□=□□-□+□=□2．用2、3、4、5、6、7、8、9这八个数，每个数只准用一次，编两道加减混合算式，要求算式符合下面的形式。□+□-□=□□-□+□=□3．公园里有三棵树，它们的树龄分别由1、2、3、4、5、6这六个数字中的不同的两个数字组成，而其中一棵的树龄正好是其他两棵树龄和的一半，你知道这三棵树各是多少岁吗？4．某公园里有三棵古树，它们的树龄分别由1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中的不同的三个数字所组成，而且其中一棵的树龄正好是其他两棵树龄和的一半，你知道这三棵树各是多少岁吗？5．见图。有一天，电钟从墙上掉下来，钟面摔成了三块。小明一看，三块的形状虽然不同，但三块上的数相加之和却相等。你知道钟面碎成了什么样子吗？每块钟面上的数相加之和是多少？6．在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中，不改变它们的顺序，在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果等于100。你能组成下面这样的算式吗？123456789=1007．用1、2、3、4、5、6、7这七个数字组成五个数，使组成的两个两位数与三个一位数相加之和正好等于100，你能够办得到吗？8．把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字分别填到下面方框里，每个数只准用一次，使下面的三个算式都成立。□+□=□□-□=□□×□=□□9．在1至9的九个数字中，已填入方框的三个数字除外，选择适当的数字填入方框中，使下面的等式成立。10．见下图。把1、2、3、4、5、6这六个数字分成三组。第一组一个数字，作为一位数当乘数；第二组二个数字，组成一个二位数当被乘数；第三组三个数字，组成一个三位数当作积。最后用这三个数写成下列乘法算式。□□×□=□□□习题九解答1．解：在10、11、12、13四个数中，相邻的两个数，后边的数比前边的数大1，所以可以写成一个等式：10+13=11+12对这个等式进行变换，可以得到符合题目要求的两个等式：2．解：根据这八个数之间的相互关系，首先可以写出两个等式：2+5=3+46+9=7+8再根据运算规律，对这两个等式进行变换，就可以得到符合要求的两个算式：还可以变换出其他形式的算式，同学们还可以试着写出一些。3．解：此题与例4相同，除在例4中求出的一个答案外还有以下各种答案也符合题意：21+65=43×2三棵树的树龄分别是21岁、43岁、65岁。16+52=34×2三棵树的树龄分别是16岁、34岁、52岁。25+61=43×2三棵树的树龄分别是25岁、43岁、61岁。4．解：此题与例4类似。可以这样考虑：用1、2、3组成最小的三位数，用7、8、9组成较大的三位数，将两个数相加得数取其半就是中间数：123+789=912912÷2=456所以三棵古树的树龄分别是123岁、456岁、789岁。5．解：钟面上的12个数是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。不难看出这些数有个特点：最小的1和最大的12相加得13，次小的2和次大的11相加得13……中间的6和7相加得13，即可见，三块钟面上的数若按下面的方式组合，它们的和将会相等：（1，2，11，12），（3，4，9，10），（5，6，7，8）。每块钟面上的数之和是：1+2+11+12=3+4+9+10=5+6+7+8=26。6．解：为了减少尝试的次数，可以先考虑接近100的较大的数，用加上或减去较小的数进行逐步调正，最后得到目标值100。经尝试知可组成以下算式：①123+45-67+8-9=100可以这样想123-100=23，所以要想办法再减去23。加45减67等于减去22；再加8减9等于减1，恰好满足要求。②123-45-67+89=100可以这样想：从123中减去45和67后得11，然后和89相加，得数正好是100。③123+4-5+67-89=100这个算式与①的解法思路相似。123比100大23，要减去它才能达到目标值100。加4减5等于减1，加67减89等于减22，结果正好满足要求。以下还有：④123-4-5-6-7+8-9=100⑤12+3+4+5-6-7+89=100⑥12-3-4+5-6+7+89=100⑦1+2+3-4+5+6+78+9=100⑧1+2+34-5+67-8+9=100⑨12+3-4+5+67+8+9=100⑩1+23-4+56+7+8+9=1007．解：在1至7这七个数里，能使五个数的和的个位数是0的有以下三组：1、2、4、6、7；1、3、4、5、7；2、3、4、5、6把这三组数分别作为算式中的个位数字，每组中剩下的两个数就可以作为十位数字，因而所组成的三个得数均匀100的竖式如下图8．解：题目要求用0到9这十个数字组成一道加法算式、一道减法算式，一道乘法算式，而且乘法算式里的积是两位数，其余算式中的各个数都是一位数。由于乘法算式受限制最强，所以抓住它入手分析。□×□=□□又因为“0”是较特殊的数，按题目要求每个数只许用一次，这就定了“0”只能在乘法算式的乘积的个位数的方框中出现。这是因为0加减任何数都得原来的数；0与任何数相乘都得0，都会破坏每个数字只使用一次的要求，个位数是0的乘法算式有2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5=40。究竟选用哪个乘法算式呢？就要看剩下的数能不能组成加法算式和减法算式。经试验可知选4×5=20后剩下的是1、3、6、7、8、9六个数，用它们可组成1+7=8，3+6=9两个等式。经变换可得符合题目要求的一组算式（同学们还可以变换出其他形式的答案）。9．解：先根据只有9×6=54和8×7=56再用把剩下的数字进行检验，可得出两种符合要求的答案：10．解：经多次尝试，可得出符合题目要求的答案如下．