三角函数与解三角形解答题-题型归类(文)

三角函数与解三角形解答题题型归类知识联想：见角求值，见三角形想内角和；见正弦得余弦，见余弦得正弦；见切想化弦，见弦想化切；见和差想化积，见积想到化和差（特别记忆辅助角）；见多角想统一角，见多次想统一次，见多函数名想统一名；见对角对边想正弦，见三边一角想余弦；见边想化角，见角想化边（多路思维）。一、函数变形与图像性质问题1．已知函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)．(1)求f5π4的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：方法一：(1)f5π4＝2cos5π4sin5π4＋cos5π4＝－2cosπ4－sinπ4－cosπ4＝2.(2)因为f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，所以T＝2π2＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.方法二：f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1.(1)f5π4＝2sin11π4＋1＝2sinπ4＋1＝2.(2)因为T＝2π2＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.2．已知函数f(x)＝sin3x＋π4.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos2α，求cosα－sinα的值．17．解：(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)．所以sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝45cosαcosπ4－sinαsinπ4(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝45(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－2.当sinα＋cosα≠0时，(cosα－sinα)2＝54.由α是第二象限角，得cosα－sinα＜0，此时cosα－sinα＝－52.综上所述，cosα－sinα＝－2或－52.3．[2014·江西卷]已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且fπ4＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若fα4＝－25，α∈π2，π，求sinα＋π3的值．解：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f(x)＝－sin2x·(a＋2cos2x)．由fπ4＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.(2)由(1)得，f(x)＝－12sin4x.因为fα4＝－12sinα＝－25，所以sinα＝45，又α∈π2，π，从而cosα＝－35，所以有sinα＋π3＝sinαcosπ3＋cosαsinπ3＝4－3310.4．函数f(x)＝3sin2x＋π6的部分图像如图1­4所示．图1­4(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f(x)的最小正周期为π.x0＝7π6，y0＝3.(2)因为x∈－π2，－π12，所以2x＋π6∈－5π6，0.于是，当2x＋π6＝0，即x＝－π12时，f(x)取得最大值0；当2x＋π6＝－π2，即x＝－π3时，f(x)取得最小值－3.5．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．解：(1)f(8)＝10－3cosπ12×8－sinπ12×8＝10－3cos2π3－sin2π3＝10－3×－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10℃.(2)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t24，所以π3≤π12t＋π37π3，所以－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.二、解三角形中正余弦定理应用1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cosA＝63，B＝A＋π2.(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．解：(1)在△ABC中，由题意知，sinA＝1－cos2A＝33.又因为B＝A＋π2，所以sinB＝sinA＋π2＝cosA＝63.由正弦定理可得，b＝asinBsinA＝3×6333＝32.(2)由B＝A＋π2得cosB＝cosA＋π2＝－sinA＝－33.由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝33×－33＋63×63＝13.因此△ABC的面积S＝12absinC＝12×3×32×13＝322.2．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为2.求cosA与a的值．解：由三角形面积公式，得12×3×1·sinA＝2，故sinA＝223.因为sin2A＋cos2A＝1，所以cosA＝±1－sin2A＝±1－89＝±13.①当cosA＝13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a＝22.②当cosA＝－13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×－13＝12，所以a＝23.3．如图1­4所示，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝7，EA＝2，∠ADC＝2π3，∠BEC＝π3.(1)求sin∠CED的值；(2)求BE的长．图1­4解：设∠CED＝α.(1)在△CDE中，由余弦定理，得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理，得ECsin∠EDC＝CDsinα.于是，sinα＝CD·sin2π3EC＝2×327＝217，即sin∠CED＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cosα＝1－sin2α＝1－2149＝277.而∠AEB＝2π3－α，所以cos∠AEB＝cos2π3－α＝cos2π3cosα＋sin2π3sinα＝－12cosα＋32sinα＝－12×277＋32×217＝714.在Rt△EAB中，cos∠AEB＝EABE＝2BE，故BE＝2cos∠AEB＝2714＝47.4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知BA→·BC→＝2，cosB＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．17．解：(1)由BA→·BC→＝2，得c·acosB＝2，又cosB＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB，又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.联立ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝1－132＝223.由正弦定理，得sinC＝cbsinB＝23×223＝429.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cosC＝1－sin2C＝1－4292＝79.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝13×79＋223×429＝2327.5．[14·新课标全国卷Ⅱ]四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．17．解：(1)由题设及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．②由①②得cosC＝12，故C＝60°，BD＝7.(2)四边形ABCD的面积S＝12AB·DAsinA＋12BC·CDsinC＝12×1×2＋12×3×2sin60°＝23.三、三角恒等式变形（以正余弦定理为主，倍角、和差角公式为辅，结合应用）1．[14全国卷]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acosC＝2ccosA，tanA＝13，求B.解：由题设和正弦定理得3sinAcosC＝2sinCcosA，故3tanAcosC＝2sinC.因为tanA＝13，所以cosC＝2sinC，所以tanC＝12，所以tanB＝tan[180°－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝tanA＋tanCtanAtanC－1＝－1，所以B＝135°.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝52，求cosC的值；(2)若sinAcos2B2＋sinBcos2A2＝2sinC，且△ABC的面积S＝92sinC，求a和b的值．解：(1)由题意可知c＝8－(a＋b)＝72.由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝22＋522－7222×2×52＝－15.(2)由sinAcos2B2＋sinBcos2A2＝2sinC可得sinA·1＋cosB2＋sinB·1＋cosA2＝2sinC，化简得sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC.因为sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinC，所以sinA＋sinB＝3sinC.由正弦定理可知a＋b＝3c.又a＋b＋c＝8，所以a＋b＝6.由于S＝12absinC＝92sinC，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，所以b＝3.3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝66b，sinB＝6sinC.(1)求cosA的值；(2)求cos2A－π6的值．解：(1)在△ABC中，由bsinB＝csinC，及sinB＝6sinC，可得b＝6c.又由a－c＝66b，有a＝2c.所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝6c2＋c2－4c226c2＝64.(2)在△ABC中，由cosA＝64，可得sinA＝104.于是cos2A＝2cos2A－1＝－14，sin2A＝2sinA·cosA＝154.所以cos2A－π6＝cos2A·cosπ6＋sin2A·sinπ6＝15－38.4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，且c＝2a，求cosB的值．16．解：(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵si