中考数学压轴题(重叠面积问题)

leizi例1:在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米（1）当t=4时，求S的值（2）当4t，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值25．（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合，重合部分是BDC＝3232221leizi例2：如图，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与的函数关系式并画出该函数的图象．解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（0x4，x0，－x+40）；则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x；∴C四边形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；（2）根据题意得：S四边形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）·x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0x4）的二次函数，并且当x＝2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；（3）如图10（2），当20a时，42121422aaS；如图10（3），当42a时，22)4(21)4(21aaS；∴S与a的函数的图象如下图所示：4xy)40aa（a)204212aaS（)42)4(212aaS（0a的函数关系式并画出该函2·4··2·4SBxyMCDOABxyOABxyOAleizi例3：已知：如图，直线343yx与x轴相交于点A，与直线3yx相交于点P．（1）求点P的坐标．（2）请判断OPA的形状并说明理由．（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求S的最大值．解：(1)3433yxyx………………2分解得：223xy………………3分∴点P的坐标为(2，23)………………4分(2)将0y代入343yx3430x∴4x，即OA=4………………4分做PD⊥OA于D，则OD=2，PD=23∵tan∠POA=2332∴∠POA=60°………5分∵OP=222(23)4∴△POA是等边三角形．………6分(3)①当0t≤4时，如图1在Rt△EOF中，∵∠EOF=60°，OE=t∴EF=23t，OF=21t∴S=21·OF·EF=283t…………7分FyOAxPEBF第24题图2PxOBCEAyF第24题图1yOAxPEBDleizi当4t8时，如图2设EB与OP相交于点C易知：CE=PE=t－4，AE=8－t∴AF=4－t21，EF=23(8－t)∴OF=OA－AF=4－(4－21t)=21t∴S=21(CE+OF)·EF=12(t－4+12t)×32(8－t)=－3832t+43t－83………………9分②当0t≤4时，S=382t，t=4时，S最大=23当4t8时，S=－3832t+43t－83=－383(t－316)2+338t=316时，S最大=338∵33823，∴当t=316时，S最大=338………………12分例4:已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。leizi解：(1)∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，32)，∴381032OABtan，∴60OAB当点A´在线段AB上时，∵60OAB，TA=TA´，∴△A´TA是等边三角形，且ATTP，∴)t10(2360sin)t10(TP，)t10(21AT21APPA，∴2TPA)t10(83TPPA21SS，当A´与B重合时，AT=AB=460sin32，所以此时10t6。(2)当点A´在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA´与CB的交点)，当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)又由(1)中求得当A´与B重合时，T的坐标是(6，0)所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，6t2。(3)S存在最大值○1当10t6时，2)t10(83S，在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，∴当t=6时，S的值最大是32。○2当6t2时，由图○1，重叠部分的面积EBATPASSS∵△A´EB的高是60sinBA，∴23)4t10(21)t10(83S2234)2t(83)28t4t(8322当t=2时，S的值最大是34；○3当2t0，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图○2，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点)，∵ETFFTPEFT，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，A´ABPTECOyxA´ABTECOyxPFleizi∴3432421OCEF21S综上所述，S的最大值是34，此时t的值是2t0。例6：如图，已知直线121xy交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为．（1）请直接写出点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积．（14分）（1）)3,1(),2,3(DC；…………………………………………………2分（2）设抛物线为cbxaxy2，抛物线过),1,0()3,1(),2,3(，.239,3,1cbacbac解得5,617,61.abc…………………………………………………2分∴1617652xxy．……………………………………………………………1分（3）①当点A运动到点F时，,1t当10t时，如图1，BA，ABABCDCD，A，EDC,5ABDxxSSttDEC,备用图leizi∵'OFAGFB，,21tanOFOAOFA∴,215''''tantGBFBGBGFB∴,25'tGB∴2'4525521''21tttGBFBSGFB；……2分②当点C运动到x轴上时，2t，当21t时，如图2，22''215,ABAB∴,55'tFA∴255'tGA，∵25'tHB，∴''1'')''2ABHGSAGBHAB梯形（5)25255(21tt4525t；…………（2分）③当点D运动到x轴上时，3t，当32t时，如图3，∵255'tGA，∴25532555'ttGD，∵1,12121OASAOF，AOF∽'GDH∴2')'(OAGDSSAOFHGD，∴2')2553(tSHGD，图1图2图3leizi∴22'''3555)2GABCHtS五边形（）（=425215452tt．……（2分）（解法不同的按踩分点给分）（4）∵3t,53''AABB,∴''''BBCCAADDSSS阴影矩形矩形………………………………………………（2分）='AAAD=15535．……………………………………………………………（1分）例7:如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．（1）求的面积；（2）求矩形的边与的长；（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．128:33lyx2:216lyxCll12，、xAB、DEFGDE、12ll、FG、xGBABC△DEFGDEEFDEFGxDEFGABC△SStt图4leizi（1）解：由28033x，得4xA．点坐标为40，．由2160x，得8xB．点坐标为80，．∴8412AB．········································································（2分）由2833216yxyx，．解得56xy，．∴C点的坐标为56，．·······························（3分）∴111263622ABCCSABy△·．··················································（4分）（2）解：∵点D在1l上且2888833DBDxxy，．∴D点坐标为88，．··········································································（5分）又∵点E在2l上且821684EDEEyyxx，．．∴E点坐标为48，．全·····································································（6分）∴8448OEEF，．································································（7分）（3）解法一：①当03t≤时，如图1，矩形DEFG与ABC△重叠部分为五边形CHFGR（0t时，为四边形CHFG）．过C作CMAB于M，则RtRtRGBCMB△∽△．∴BGRGBMCM，即36tRG，∴2RGt．RtRtAFHAMC△∽△，ADBEORFxM（图3）GCADBEOCFxG（图1）RMADBEOCFxG（图2）RMleizi∴11236288223ABCBRGAFHSSSStttt△△△．即241644333Stt．··························································（10分）（2013•玉林压轴题）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为