优化建模方法

2020/7/17数学模型是对实际所研究问题的一种抽象，基于数学理论和方法，把客观事物的本质属性与其内在联系刻画出来并用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来表示的一种表达形式。数学模型如，牛顿第二定律：maF2020/7/17数学建模过程现实对象的信息数学模型的解答现实对象的解答数学模型表述（归纳）求解（演绎）解释验证现实对象与数学模型的关系2020/7/17机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。maF统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分析，得到其内在的规律。如：多元统计分析。系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把定性的思维和结论用定量的手段表示出来。如：层次分析法。数学建模方法2020/7/17建立数学模型的方法层次分析法最小二乘法差分法定性理论法优化法变分法回归分析法机理分析法统计分析法聚类分析法主成分分析法马尔科夫预测法系统分析法模糊数学法灰色系统法2020/7/17•优化方法•数据拟合方法•差分方程方法•层次分析方法2020/7/172020/7/17（一）优化模型的数学描述下的最大值或最小值，其中.,...,,,)(mihi210x.,...,,),)(()(piggii2100xx设计变量（决策变量）目标函数),...,,,(nxxxx321x求函数)(xfu在约束条件和x)(xfx可行域2020/7/17.,...,,,)(..mihtsi210x.,...,,),)(()(piggii2100xxxxfu)(max)min(ortosubjectts..“受约束于”之意2020/7/17（1）非线性规划目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。.,...,,,)(..mihtsi210x.,...,,),)(()(piggii2100xxxxfu)(min2020/7/17.,...,,,.,...,,,..minnixnibxatsxcuinkikikniii2102111（2）线性规划（LP）目标函数和所有的约束条件都是设计变量的线性函数。2020/7/17（3）二次规划问题目标函数为二次函数，约束条件为线性约束.,...,,..,...,,,..)(min,nixnibxatsxxbxcxfuinjijijnjijiijniii21021211112020/7/17（二）建立优化模型的一般步骤1.确定设计变量和目标变量；2.确定目标函数的表达式；3.寻找约束条件。2020/7/17选址问题聘用雇员问题投资问题产品配比问题指派问题平板车装箱问题（三）优化模型举例2020/7/17实例1选址问题一项工程有个施工点，已知每个施工点对某种材料的需求为（单位：吨），施工点的位置坐标为（以公里记），。(,)iiab1,2,,im现要设立个料场，已知每个料场这种材料的最大容纳量为(单位：吨)，。1,2,,jn试确定这n个料场的位置坐标，及各料场向各施工点的材料运量，在保证施工需求的条件下，使材料运输的总吨公里最小。mirnjq2020/7/171.确定设计变量和目标变量：2.确定目标函数的表达式：设第j个料场的位置坐标为，第j个料场向第i个施工点的材料运量为。(,)jjxyijw第j个料场到第i个施工点的吨公里数为ijijwd22()()ijjijidxayb总吨公里数为11mnijijijzwd2020/7/17（1）施工地点的需求：3.寻找约束条件1,1,2,,nijijwrim（2）各料场的最大容量：1,1,2,,mijiiwqjn（3）对运量的自然要求：0,1,2,,;1,2,,ijwimjn2020/7/172211min()()mnijjijiijzwxayb11,1,2,,..,1,2,,0,1,2,,;1,2,,nijijmijiiijwrimstwqjnwimjn数学模型2020/7/17问题：如果还要求每个施工点的R公里内至少有一个料场，数学模型又如何？2020/7/17邮局一周中每天需要不同数目的雇员，设周一至少人，周二至少人，，周日至少人，又规定应聘者需连续工作5天，问邮局每天聘用多少雇员才能既满足需求，又使聘用总人数最少。1a实例2聘用雇员问题2a7a设邮局周一新聘用雇员为，1x周二新聘用雇员为，2x周日新聘用雇员为，则目标函数为7x127zxxx2020/7/17145671xxxxxa周一125672xxxxxa周二123673xxxxxa周三123474xxxxxa周四123455xxxxxa周五234566xxxxxa周六345677xxxxxa周日2020/7/17145671xxxxxa125672xxxxxa123673xxxxxa123474xxxxxa123455xxxxxa234566xxxxxa345677xxxxxa127minzxxx..st数学模型2020/7/17问题：上述指全时雇员（每天工作8小时）。如果邮局也可聘用半时雇员（每天工作4小时，也需连续工作5天）。设全时和半时雇员的工资分别为每小时12元和10元，并且限制半时雇员的工作量不应超过总工作量的四分之一，问邮局如何安排聘用方案，使所付工资额最少。2020/7/17145671456718()4()8xxxxxyyyyya125671256728()4()8xxxxxyyyyya123671236738()4()8xxxxxyyyyya123471234748()4()8xxxxxyyyyya234562345668()4()8xxxxxyyyyya345673456778()4()8xxxxxyyyyya127127min128()104()zxxxyyy..st数学模型123451234558()4()8xxxxxyyyyya1234567123456745()0.258()yyyyyyyaaaaaaa项目A：若每年初投资一元，则两年后收回本利共；2020/7/17现有一笔资金，今后5年内有以下项目的投资可供选择，问如何确定每年初这些项目的投资，使5年末的本利总额最大。(1)a实例3投资问题S项目B：只能在第2年初投资，第五年末收回本利的倍，但投资额不能小于；R项目D：每年初可购1年期债券，利率为。(1)b项目C：只能在第3年初投资，第五年末收回本利的倍，但投资额不能超过；Q(1)cd设分别表示第年初这四个项目的投资额，,,,iiiiABCDi第1年初，11ADS第1年末，1(1)dD第2年初，2221(1)ABDdD第2年末，12(1)(1)aAdD第3年初，33312(1)(1)ACDaAdD第3年末，23(1)(1)aAdD第4年初，4423(1)(1)ADaAdD第4年末，34(1)(1)aAdD第1年初，11ADS第1年末，1(1)dD第2年初，2221(1)ABDdD第2年末，12(1)(1)aAdD第3年初，33312(1)(1)ACDaAdD第3年末，23(1)(1)aAdD第4年初，4423(1)(1)ADaAdD第4年末，34(1)(1)aAdD第5年初，534(1)(1)DaAdD第5年末，4235(1)(1)(1)(1)aAbBcCdD4235max(1)(1)(1)(1)zaAbBcCdD11222133312442353423(1)(1)(1)(1)(1)..(1)(1)0,0,0,0,1,2,3,4,5iiiiADSABDdDACDaAdDADaAdDstDaAdDBRCQABCDi2020/7/17某厂生产种饲料，它们均由种原料配合而成，在中含量（百分比）的上限为，下限为。若的售价为（元/千克），的成本为（元/千克），的供应量不超过，其中实例4产品配比问题n试确定各种饲料的产量及其原料配比，使工厂的利润最大。12,,,nPPPm12,,,mQQQjQiPijuijliPipjQjrjQ1,2,,;1,2,,injmjq设饲料的产量为，在中的比例为。iPiyjQiPijx2020/7/17建模设饲料的产量为，在中的比例为。iPiyjQiPijx1.确定设计变量和目标变量：2.确定目标函数的表达式：利润=总收入—总成本1niiipyjijiqxyijixy中的含量：jQiP11nmjijiijqxy2020/7/17111nnmiijijiiijupyqxy（1）原料供应的约束：3.寻找约束条件1,1,2,,niijjiyxrjm（2）原料含量的约束：,1,2,,;1,2,,ijijijlxuinjm11,1,2,,mijjxin2020/7/17111maxnnmiijijiiijupyqxy数学模型11,1,2,,,1,2,,;1,2,,1,1,2,,0,0,1,2,,;1,2,,niijjiijijijmijjiijyxrjmlxuinjmxinyxinjm..st2020/7/17练习指派问题设有n项任务要分给n个人完成，每人完成一项。由于每个人的专长不同，完成任务所需的成本也不同。若第i个人完成第j个问题的成本为Cij，见下表。问题是：如何分配这些工作任务，使总成本为最小。2020/7/17工作人员12345112797928966637171214941514661054107109表：每个人员的成本2020/7/17s.t.1,0.,...,2,1,1.,...,2,1,111ijniijnjijxnjxnixninjijijxCf11min数学模型每辆平板车有10.2米长的地方装箱（像面包片那样），载重40吨。由于货运限制，对三种包装箱的装载有如下特殊要求：它们所占的空间（厚度）不得超过302.7厘米。试把包装箱装到平板车上，使浪费的空间最小。2020/7/17要把7种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上去，箱子的宽高相同，而厚度和重量不同，下表给出它们的厚度、重量与数量。讨论平板车装箱问题567,,ccc厚度t（厘米）48.752.061.372.048.752.064.0重量w（千克）200030001000500400020001000数量n87966487c6c5c4c3c2c1c可见，所有包装箱的厚度为27.495米，而两辆包装箱共有20.4米长的地方，显然不能全部装下。这就需要我们优化。设包装箱装到平板车1,2的数量分别为ic12,,1,2,,7iixxi7121()iiiiiztxtx厚度函数：7121()iiiiiztxtx目标函数：711020,1,2iijitxj约束条件：厚度约束714000,1,2iijiwxj重量约束21,1,2,,7ijijxni数量约束75302.7,j1,2iijitx特殊约束数学模型：7121max()iiiiiztxtx717121751020,1,24000,1,2..,1,2,,7302.7,j1,20iijiii