全国高考数学复习微专题：几何概型

几何概型一、基础知识：1、几何概型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2、对于一项试验，如果符合以下原则：（1）基本事件的个数为无限多个（2）基本事件发生的概率相同则可通过建立几何模型，利用几何概型计算事件的概率3、几何概型常见的类型，可分为三个层次：（1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出比例即可得到概率。（2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题）（3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数。从而可依据变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系。从而将问题转化成为第（2）类问题求解二、典型例题：例1：已知函数22,5,5fxxxx，在定义域内任取一点0x，使00fx的概率是（）A.110B.23C.310D.45思路：先解出00fx时0x的取值范围：22012xxx，从而在数轴上1,2区间长度占5,5区间长度的比例即为事件发生的概率，所以310P答案：C例2：如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线sin0,fxxx及直线0,xaa与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a的值是（）A.712B.23C.34D.56思路：落在阴影部分的概率即为阴影部分面积与长方形面积的比值长方形的面积66Saa，阴影面积'00sincos|1cosaaSxdxxa，所以有'1cos164SaPS，可解得1cos2a，从而23a答案：B例3：已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点，在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足2PH的概率为（）A.8B.184C.4D.144思路：2PH可理解为以H为圆心，2为半径的圆的内部，通过作图可得概率为阴影部分面积所占正方形面积的比例。可将阴影部分拆为一个扇形与两个直角三角形，可计算其面积为'12S，正方形面积224S，所以'184SPS答案：B小炼有话说：到某定点的距离等于（或小于）定长的轨迹为圆（或圆的内部），所以从2PH和H为定点便可确定P所在的圆内例4：一个多面体的直观图和三视图所示，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔，由它飞入几何体FAMCD内的概率为（）A.34B.23C.13D.12思路：所求概率为棱锥FAMCD的体积与棱柱ADFBCE体积的比值。由三视图可得ADDFCDa，且,,ADDFCD两两垂直，可得31122ADFBCEADFVSDCADDFDCa，棱锥体积13FAMCDADMCVDFS，而21324ADCMSADAMCDa，所以214FAMCDVa。从而12FAMCDADFBCEVPV答案：D例5：如图，点P等可能分布在菱形ABCD内，则214APACAC的概率是（）A.12B.14C.16D.18思路：对APAC联想到数量积的投影定义，即AC乘以AP在AC上的投影，不妨将投影设为l，则214APAClACAC，即14lAC即可，由菱形性质可得，取,ABAD中点,MN，有MNBD∥，所以MNAC且垂足四等分AC，P点位置应该位于AMN内。所以18AMNABCDSPS菱形答案：D例6：某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为（）A.14B.12C.23D.34思路：所涉及到只是时间一个变量，所以考虑利用数轴辅助解决。在一个小时中，符合要求的线段长度所占的比例为12，所以概率12P答案：B例7：已知函数22fxxaxb，若,ab都是区间0,4内的数，则使10f成立的概率是（）ADBCPMNA.34B.14C.38D.58思路：题目中涉及,ab两个变量，所以考虑利用直角坐标系解决。设为“,ab在区间0,4内”，则要满足的条件为：0404ab，设事件A为“10f成立”，即210ab，所以A要满足的条件为：0404210abab，作出各自可行域即可得到SAPAS38答案：C例8：在区间0,1上随机取两个数,xy，记1P为事件“12xy”的概率，2P为事件“12xy”的概率，3P为事件“12xy”的概率，则（）A.123PPPB.231PPPC.312PPPD.321PPP思路：分别在坐标系中作出“12xy”，“12xy”，“12xy”的区域，并观察或计算其面积所占单位长度正方形的比例，即可得到123,,PPP的大小：231PPP答案：B例9：小王参加网购后，快递员电话通知于本周五早上7:30-8:30送货到家，如果小王这一天离开家的时间为早上8:00-9:00，那么在他走之前拿到邮件的概率为（）A.18B.12C.23D.78思路：本题中涉及两个变量，一个是快递员到达的时刻，记为x，一个是小王离开家的时刻，记为y，由于双变量所以考虑建立平面坐标系，利用可行域的比值求得概率。必然事件所要满足的条件为：7.58.589xy，设“小王走之前拿到邮件”为事件A，则A要满足的条件为：7.58.589xyxy，作出和A的可行域，可得SAPAS78答案：D例10：已知一根绳子长度为1m，随机剪成三段，则三段刚好围成三角形的概率为______思路：随机剪成三段，如果引入3个变量,,xyz，则需建立空间坐标系，不易于求解。考虑减少变量个数，由于三段的和为1，设其中两段为,xy，则第三段为1xy。只用两个变量，所以就可以建立平面直角坐标系进行解决。设为“一根绳子随机剪三段”，则要满足的条件为：0101011xyxy，设事件A为“三段围成三角形”，则,,1xyxy任意两边之和大于第三边，所以A满足的条件为0101010101101121112112xyxxyyxyxyxyxyxxyyyyxyxx，在同一坐标系作出,A的可行域。则14SAPAS答案：14