9.4定积分的性质(华东师大数学分析)

一、基本性质二、积分第一中值定理§9.4定积分的性质对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.一、基本性质dxba1dxbaab.性质0babadxxfkdxxkf)()((k为常数).证明(2)当𝒌=≠𝟎时，因为𝑓𝑥在𝑎,𝑏可积，由定积分的定义，则∀𝜺𝟎,∃𝜹𝟎，对任意分割T及𝝃𝒊∈𝑥𝑖−1,𝑥𝑖，当𝑻𝜹时，有性质1若𝑓𝑥在𝑎,𝑏可积，则𝒌𝒇(𝒙)在𝑎,𝑏可积，且𝒇(𝝃𝒊)𝜟𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏−𝑱𝜺𝒌证明(1)当𝒌=𝟎时，结论显然成立。所以𝒌𝒇(𝒙)在𝑎,𝑏可积，且badxxkf)(.)(badxxfk𝒌𝒇(𝝃𝒊)𝜟𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏−𝒌𝑱𝜺𝒌∙𝒌=𝜺从而有其中，𝑱=𝒇𝒙𝒅𝒙𝒃𝒂badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.此性质可以推广到有限多个函数作和的情况性质2如果𝑓𝑥,𝑔𝑥在𝑎,𝑏都可积，则𝑓𝑥±𝑔(𝑥)在𝑎,𝑏可积,且证明由定积分的定义，则∀𝜺𝟎,∃𝜹𝟎，对任意分割T及𝝃𝒊∈𝑥𝑖−1,𝑥𝑖，当𝑻𝜹时，有𝒇(𝝃𝒊)𝜟𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏−𝑱𝒇𝜺𝟐𝒈(𝝃𝒊)𝜟𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏−𝑱𝒈𝜺𝟐及badxxgxf)]()([所以𝒇𝒙±𝒈(𝒙)在𝒂,𝒃可积，且.)(badxxgbadxxf)([𝒇(𝝃𝒊)𝜟𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏±𝒈(𝝃𝒊)𝜟𝒙𝒊]−(𝑱𝒇±𝑱𝒈)从而有其中，𝑱𝒇=𝒇𝒙𝒅𝒙𝒃𝒂，𝑱𝒈=𝒈𝒙𝒅𝒙𝒃𝒂≤𝒇(𝝃𝒊)𝜟𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏−𝑱𝒇+𝒈(𝝃𝒊)𝜟𝒙𝒊𝒏𝒊=𝟏−𝑱𝒈𝜺𝟐+𝜺𝟐=𝜺证明由于𝒇𝒙,𝒈𝒙在𝒂,𝒃可积，故有界，从而有上确界，设性质3如果𝒇𝒙,𝒈𝒙在𝑎,𝑏都可积，则𝒇(𝒙)·𝒈(𝒙)在𝒂,𝒃可积。𝑨=𝐬𝐮𝒑𝒙∈𝒂,𝒃𝒇𝒙,𝐁=𝐬𝐮𝒑𝒙∈𝒂,𝒃𝒈𝒙,则𝑨𝟎,𝑩0(否则，𝒇,𝒈中至少有一个恒取0，结论自然成立)。用定理9.𝟑′证明(1)任给正数𝜺𝟎，由于𝑓𝑥,𝑔𝑥可积，根据定理9.𝟑′，存在分割𝑻′,𝑻′′,使得𝝎𝒊𝒇∆𝒙𝒊𝑻′𝜺𝟐𝑩,𝝎𝒊𝒈∆𝒙𝒊𝑻′′𝜺𝟐𝑨(2)令𝑻=𝑻′+𝑻′′,即把𝑻′,𝑻′′的所有分点合并在一起，构成一个新的分割𝑻(显然𝑻比𝑻′,𝑻′′增加了分点)。从而对分割𝑻中的每个小区间∆𝒊,有(1)𝝎𝒊𝒇∙𝒈=𝐬𝐮𝒑𝒙′,𝒙′′∈∆𝒊𝒇𝒙′𝒈𝒙′−𝒇𝒙′′𝒈𝒙′′≤𝐬𝐮𝒑𝒙′,𝒙′′∈∆𝒊𝒈𝒙′𝒇𝒙′−𝒇𝒙′′+𝒇𝒙′′𝒈𝒙′−𝒈𝒙′′≤𝑩𝝎𝒊𝒇+A𝝎𝒊𝒈.𝝎𝒊𝒇∙𝒈∆𝒙𝒊𝑻≤𝑩𝝎𝒊𝒇∆𝒙𝒊𝑻+𝑨𝝎𝒊𝒈∆𝒙𝒊𝑻(2)≤𝐬𝐮𝒑𝒙′,𝒙′′∈∆𝒊𝒈𝒙′𝒇𝒙′−𝒇𝒙′′+𝐬𝐮𝒑𝒙′,𝒙′′∈∆𝒊𝒇𝒙′′𝒈𝒙′−𝒈𝒙′′两边对i求和得，≤𝑩𝝎𝒊𝒇∆𝒙𝒊𝑻′+𝑨𝝎𝒊𝒈∆𝒙𝒊𝑻′′𝑩𝜺𝟐𝑩+𝑨𝜺𝟐𝑨=𝜺由定理9.𝟑′，𝑓(𝑥)·𝑔(𝑥)在𝑎,𝑏可积。注一般两个函数乘积的积分不等于积分的乘积。由§3第1题可得，上式badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.定积分对积分区间的可加性性质4𝑓𝑥在𝑎,𝑏可积的充要条件是：∀𝒄∈𝒂,𝒃,𝑓𝑥在𝑎,𝑐及𝑐,𝑏都可积，且有证明(充分性的证明类似于性质3；必要性的证明由§3第2题即得；而等式的证明由定积分的定义(取c为分割的一个分点)可证)注不论的大小如何,上式总成立.cba,,例若𝒂𝒃𝒄,则有cadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf从而例1求𝒇𝒙𝒅𝒙,20𝒇𝒙=𝒙,𝒙∈[𝟎,𝟏]𝒆𝒙，𝒙∈[𝟏,𝟐]解由于𝒙在0,1及𝒆𝒙在1,2连续，所以𝒙在0,1及𝒆𝒙在1,2可积，由性质4，𝒇𝒙在[0,2]可积，且有𝒇𝒙𝒅𝒙=𝒙𝒅𝒙+𝒆𝒙𝒅𝒙=21𝟏𝟐+𝒆𝟐−𝒆1020则0)(dxxfba.)(ba证明,0)(xf,0)(if),,2,1(ni,0)(1iinixf∴  𝒇𝒙𝒅𝒙=𝒃𝒂𝐥𝐢𝐦𝑻→𝟎𝒇𝒏𝒊=𝟏(𝝃𝒊)𝜟𝒙𝒊≥𝟎性质5设𝑓𝑥在𝑎,𝑏可积，如果在区间],[ba上0)(xf，利用定积分的定义解令,)(xexfx]0,2[x,0)(xf,0)(02dxxexdxex02,02dxx于是𝒙𝒅𝒙0−2.例2不计算积分值，比较积分𝒆𝒙𝒅𝒙0−2和𝒙𝒅𝒙0−2的大小𝒆𝒙𝒅𝒙0−2推论(积分不等式)证明),()(xgxf,0)()(xfxg,0)()(babadxxfdxxg于是dxxfba)(dxxgba)(.则dxxfba)(dxxgba)(.)(ba由性质5若𝑓𝑥及𝑔𝑥在𝑎,𝑏可积，且𝑓𝑥≤𝑔𝑥，𝑥∈[𝑎,𝑏]∴  [𝒈𝒙−𝒇𝒙]𝒅𝒙≥𝟎𝒃𝒂∴例3证明:若𝒇𝒙在𝒂,𝒃连续，且𝒇𝒙≥𝟎,𝒇𝒙𝒅𝒙=𝟎,则𝒇𝒙≡𝟎,𝒙∈𝒂,𝒃.𝒃𝒂证明(反证法)假设存在𝒙𝟎∈𝒂,𝒃,使得𝒇𝒙𝟎𝟎,则由函数极限的局部保号性，存在𝜹𝟎,当𝒙∈𝒙𝟎−𝜹,𝒙𝟎+𝜹时，𝒇(𝒙)≥𝒇(𝒙𝟎)𝟐.从而由性质4、性质5及其推论，得𝒇𝒙𝒅𝒙=𝒇𝒙𝒅𝒙𝒙𝟎−𝜹𝒂+𝒇𝒙𝒅𝒙𝒙𝟎+𝜹𝒙𝟎−𝜹+𝒇𝒙𝒅𝒙𝒃𝒙𝟎+𝜹𝒃𝒂≥𝟎+𝒇𝒙𝟎𝟐𝒅𝒙𝒙𝟎+𝜹𝒙𝟎−𝜹+𝟎≥𝟎+𝒇𝒙𝟎𝟐∙𝟐𝜹+𝟎𝟎与已知矛盾，故结论成立。(𝟏)若𝒇𝒙在𝒂,𝒃连续，且𝒇𝒙≥𝟎,𝒇𝒙≡𝟎,𝒙∈𝒂,𝒃；则𝒇𝒙𝒅𝒙𝟎.𝒃𝒂𝟐若𝒇𝒙,𝒈𝒙在𝒂,𝒃连续，且𝒇𝒙≥𝒈𝒙,𝒇𝒙≡𝒈𝒙,𝒙∈𝒂,𝒃；则𝒇𝒙𝒅𝒙𝒃𝒂𝒈𝒙𝒅𝒙𝒃𝒂反之：证明(1)由于𝒇𝒙在𝒂,𝒃可积，由定理9.3′，任给正数𝜺𝟎，存在分割T，使得性质6若𝒇𝒙在𝒂,𝒃可积，则𝒇(𝒙)在𝑎,𝑏可积，且𝒇𝒙𝒅𝒙𝒃𝒂≤𝒇(𝒙)𝒅𝒙.𝒃𝒂𝝎𝒊𝒇∆𝒙𝒊𝑻𝜺.𝒂𝒃由绝对值不等式𝒇(𝒙′)−𝒇(𝒙′′)≤𝒇𝒙′′−𝒇(𝒙′可得𝝎𝒊𝒇∆𝒙𝒊𝑻≤𝝎𝒊𝒇∆𝒙𝒊𝑻𝜺.由定理9.3′，𝒇(𝒙)在𝑎,𝑏可积。(2)由不等式−𝒇(𝒙)≤𝒇(𝒙)≤𝒇(𝒙)，利用性质5的推论得−𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃𝒂≤𝒇𝒙𝒅𝒙𝒃𝒂≤𝒇(𝒙)𝒅𝒙.𝒃𝒂由此即得所证结论𝒇𝒙𝒅𝒙𝒃𝒂≤𝒇(𝒙)𝒅𝒙.𝒃𝒂𝒂𝒃注一般而言，当𝒇(𝒙)在𝑎,𝑏可积时，不一定有𝒇𝒙在𝑎,𝑏可积。例如𝒇𝒙=𝟏,𝒙为有理数−1，𝒙为无理数解(1)由于𝒇(𝒙)=1，所以𝒇(𝒙)在𝟎,𝟏可积。(2)利用定积分的定义，与§3迪利克雷函数的讨论类似，可以证明𝒇(𝒙)在𝟎,𝟏不可积。证明,)(Mxfm,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba则)()()(abMdxxfabmba.性质7若𝒇𝒙在𝒂,𝒃可积，且𝒎≤𝒇𝒙≤𝑴，𝑥∈𝑎,𝑏.其中，𝒎,𝑴是常数，由性质5的推论𝒂𝒃此性质可用于估计积分值的大致范围积分估值定理解,sin31)(3xxf],,0[x,1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx例4例2估计积分dxx03sin31的值.例5证明不等式：𝟏𝒔𝒊𝒏𝒙𝒙𝒅𝒙𝝅2𝝅20证明设,sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf2)tan(cosxxxx则𝒙∈(𝟎,𝝅𝟐)𝟎所以𝒇(𝒙)在(𝟎,𝝅𝟐)单调递减，从而上确界𝑴=lim𝒙→𝟎𝒇(𝒙)=𝟏,最小值𝒎=𝒇𝝅𝟐=𝟐𝝅,由性质5性质7可得𝟏=𝟐𝝅∙𝝅2−𝟎≤𝒔𝒊𝒏𝒙𝒙𝒅𝒙≤1∙𝝅2−𝟎=𝝅2𝝅20由例4，由于被积函数𝒇𝒙在(𝟎,𝝅𝟐]上连续，且不恒等于𝑴=𝟏和𝒎=𝟐𝝅，所以不等式严格成立，即有𝟏𝒔𝒊𝒏𝒙𝒙𝒅𝒙𝝅2𝝅20二积分第一中值定理定理9.7（积分第一中值定理）如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf.)(ba积分中值定理的几何意义：若𝒇𝒙在𝒂,𝒃连续，则必存在一点𝝃∈𝒂,𝒃,使得𝒇𝒙在𝒂,𝒃上的曲边梯形的面积等于以𝐟(𝝃)为高，以𝒂,𝒃为底的矩形面积。xyoab)(f证明由于𝐟(𝒙)在𝒂,𝒃连续，故可积，且存在最大最小值𝑴,𝐦,由性质7得即  𝒎≤𝟏𝒃−𝒂𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃𝒂≤𝑴由闭区间上连续函数的介值定理，存在一点𝝃∈𝒂,𝒃,使得 𝒎(𝒃−𝒂)≤𝒇(𝒙)𝒃𝒂𝒅𝒙≤𝑴(𝒃−𝒂),)(1)(badxxfabfdxxfba)())((abf.即)(ba定义称𝟏𝒃−𝒂𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃𝒂为𝒇𝒙在𝒂,𝒃上所有函数值的平均值，这是有限个数算术平均值的推广。例4设)(xf可导，且1)(limxfx，求dttfttxxx2)(3sinlim.解由积分中值定理，有],2,[xx使dttfttxx2)(3sin),2)((3sinxxfdttfttxxx2)(3sinlim)(3sinlim2f)(3lim2f.6例7推广的积分第一中值定理定理9.8若𝒇𝒙，𝒈(𝒙)都在𝒂,𝒃连续，且𝒈(𝒙)在𝒂,𝒃上不变号，则至少存在一点𝝃∈𝒂,𝒃,使得 𝒇𝒙𝒃𝒂𝒈𝒙𝒅𝒙=𝒇𝝃𝒈𝒙𝒅𝒙𝒃𝒂易见，当𝒈(𝒙)=1时，定理9.8就是定理9.7.证明由定理9.4及性质3可得,𝒇𝒙,𝒈𝒙,𝒇𝒙𝒈(𝒙)在𝒂,𝒃可积。不妨设𝒈𝒙≥0,𝒙∈𝒂,𝒃;𝒇𝒙在𝒂,𝒃上的最大最小值为𝑴,𝐦,则有 𝒎𝒈(𝒙)≤𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)≤𝑴𝒈(𝒙)，𝒙∈𝒂,𝒃从而由性质7得 𝒎𝒈𝒙𝒅𝒙𝒃𝒂≤𝒇𝒙𝒃𝒂𝒈𝒙𝒅𝒙≤𝑴𝒈𝒙𝒅𝒙𝒃𝒂(1)若𝒈𝒙𝒅𝒙=0，𝒃𝒂由上式可知，𝒇𝒙𝒃𝒂𝒈𝒙𝒅𝒙=0，结论成立。(2)若𝒈𝒙𝒅𝒙0，𝒃𝒂则由上