6.4-基变换与坐标变换

§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射第六章线性空间§6.4基变换与坐标变换2/27一、向量的形式书写法二、基变换§6.4基变换与坐标变换三、坐标变换§6.4基变换与坐标变换3/27引入在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可取作线性空间V的一组基.V中任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的.同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.如何选择适当的基向量使坐标比较简单.问题§6.4基变换与坐标变换4/27一、向量的形式书写法1、V为数域P上的n维线性空间，为12,,,nV中的一组向量，，若V1122,,1,2,,nnixxxxPin则记作1212(,,,)nnxxx§6.4基变换与坐标变换5/2711112121nnaaa则记作2、V为数域P上n维线性空间，；12,,,n12,,,n为V中的两组向量，若1112121222121212(,,,)(,,,)nnnnnnnnaaaaaaaaa21212222nnaaa1122nnnnnnaaaijaP§6.4基变换与坐标变换6/27在形式书写法下有下列运算规律1)121212,,,,,,,,,,,nnnVaaabbbP11112222121212(,,,)(,,,)(,,,)nnnnnnnabababababab若12,,,n线性无关，则111122221212(,,,)(,,,)nnnnnnabababababab注：§6.4基变换与坐标变换7/272)；为V中的两组向量，12,,,n12,,,n矩阵，则,nnABP1212((,,,))(,,,)()nnABAB；1212(,,,)(,,,)nnAB；1212(,,,)(,,,)nnAA；1122(,,,)nnA若12,,,n线性无关，则1212(,,,)(,,,).nnABAB12(,,,)()nAB§6.4基变换与坐标变换8/271、定义设V为数域P上n维线性空间，；12,,,n12,,,n为V中的两组基，若11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa①即二、基变换§6.4基变换与坐标变换9/27则称矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa为由基到基的过渡矩阵；12,,,n12,,,n称①或②为由基到基12,,,n12,,,n的基变换公式．1112121222121212(,,,)(,,,)nnnnnnnnaaaaaaaaa②§6.4基变换与坐标变换10/272、有关性质1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．证明：若为V的两组基,1212,,,;,,,nn且由基的过渡矩阵为A，1212,,,,,,nn到即1212(,,,)(,,,)nnA又由基也有一个过渡矩阵,1212,,,,,,nn到设为B，即1212(,,,)(,,,)nnB③④比较③、④两个等式，有§6.4基变换与坐标变换11/271212(,,,)(,,,)nnBA1212(,,,)(,,,)nnAB都是线性无关的,1212,,,;,,,nn.ABBAE即A是可逆矩阵,且A-1＝B.反过来，设为P上任一可逆矩阵，()ijnnAa任取V的一组基12,,,,n1212(,,,)(,,,)nnA于是有11221,1,2,,njjjnjnijiiaaaajn令§6.4基变换与坐标变换12/2711212(,,,)(,,,)nnA由A可逆，有1212,,,,,,nn与等价.即也可由线性表出.12,,,n12,,,n故线性无关，从而也为V的一组基.12,,,n并且A就是的过渡矩阵.1212,,,,,,nn到2）若由基过渡矩阵为A,1212,,,,,,nn到基则由基过渡矩阵为A-1.1212,,,,,,nn到基§6.4基变换与坐标变换13/273）若由基过渡矩阵为A,1212,,,,,,nn到基由基过渡矩阵为B，则1212,,,,,,nn到基由基过渡矩阵为AB.1212,,,,,,nn到基1212(,,,)(,,,)nnB1212(,,,)(,,,)nnA事实上,若1212(,,,)((,,,))nnAB则有12(,,,)nAB§6.4基变换与坐标变换14/27三、坐标变换⑤1、定义：V为数域P上n维线性空间12,,,;n为V中的两组基，且12,,,n1112121222121212(,,,)(,,,)nnnnnnnnaaaaaaaaa设且在基与基12,,,n12,,,nV下的坐标分别为与，12(,,,)nxxx12(,,,)nxxx§6.4基变换与坐标变换15/271212(,,,)nnxxx与1212(,,,)nnxxx1211121212221212(,,,)(,,,)nnnnnnnnaaaaaaaaa即则1112111221222212nnnnnnnnaaaxxxaaaxxxaaa或11112111221222212nnnnnnnnaaaxxxaaaxxxaaa⑦称⑥或⑦为向量在基变换⑤下的坐标变换公式．⑥§6.4基变换与坐标变换16/27例1在Pn中，求由基12,,,n到基12,,,n过渡矩阵．其中12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,,0,1)n12(1,1,,1),(0,1,,1),,(0,,0,1)n解：∵11222nnnn的过渡矩阵及由基12,,,n12,,,n到基的并求向量在基下的坐标.12,,,n12(,,,)naaa§6.4基变换与坐标变换17/2711212100110(,,,)(,,,)111nn1210001100(,,,)01100001n而，∴1212100110(,,,)(,,,)111nn§6.4基变换与坐标变换18/2712,,,n12,,,n到基由基的过渡矩阵为1000110001100001故由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为100110111§6.4基变换与坐标变换19/2712(,,,)naaa在基下的坐标就是12,,,n12(,,,)naaa设在基下的坐标为，则12,,,n12(,,,)nxxx111222111000110001100001nnnnxaaxaaaxaaa所以在基下的坐标为12,,,n1211(,,,)nnaaaaa§6.4基变换与坐标变换20/27例2在P4中，求由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵，其中1234(1,2,1,0)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,1,0,1)1234(2,1,0,1)(0,1,2,2)(2,1,1,2)(1,3,1,2)§6.4基变换与坐标变换21/27解：设12(1,0,0,0),(0,1,0,0),34(0,0,1,0),(0,0,0,1)则有1234(,,,)或11234123411112121(,,,)(,,,)11100111，1234(1,2,1,0)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,1,0,1)123411112121(,,,)11100111§6.4基变换与坐标变换22/271234123420211113(,,,)(,,,)02111222从而有1234(,,,)112341111202121211113(,,,)1110021101111222112341111202121211113(,,,)11100211011112221234(2,1,0,1)(0,1,2,2)(2,1,1,2)(1,3,1,2)§6.4基变换与坐标变换23/27123410011101(,,,)01110010∴由基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵为10011101011100101234(,,,)§6.4基变换与坐标变换24/27练习：已知的两组基：22P1112212210010000,,,;00001001EEEE1112212210111111,,,00001011FFFF求由基的过渡矩阵，1112212211122122,,,,,,EEEEFFFF到并求矩阵在基下的坐标.11122122,,,FFFF3542A§6.4基变换与坐标变换25/27解：1111121112211112212211122122FEFEEFEEEFEEEE111221221112212211110111(,,,)(,,,)00110001FFFFEEEE111221223542AEEEE又设A在基下的坐标为11122122,,,FFFF1234(,,,),xxxx§6.4基变换与坐标变换26/271123411113011150011400012xxxx则812211003011050011400012即A在基下的坐标为11122122,,,FFFF(8,1,2,2).§6.4基变换与坐标变换27/27作业习题9