历年天津理工大学高数期末考试试卷及答案

12015-2016年第二学期《高等数学AII》期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分）1、三重积分dVzyxfI),,(，其中由平面1zyx，1yx，0x，0y，1z所围，化为三次积分是（B）A、211010),,(yxxdzzyxfdydxI；B、111010),,(yxxdzzyxfdydxI；C、111010),,(yxdzzyxfdydxI；D、11010),,(yxxdzzyxfdydxI.2、设yexu2，则du（A）A.dyexdxxeyy22；B.dyexdxy2；C.dyxedxexyy22；D.dyexdxexyy22.3、微分方程ydxdyx的通解为（C）.A.Cxy；B.Cxy；C.Cxy；D.xy.4、设1是222yxRz上侧，2是222yxRz下侧，3是xoy平面上圆222Ryx的上侧，RQP,,在3R空间上有一阶连续偏导数，且0zRyQxP，则与曲面积分1RdxdyQdzdxPdydz相等的积分是（B）(A)2RdxdyQdzdxPdydz；(B)3RdxdyQdzdxPdydz；(C)RdxdyQdzdxpdydz21；(D)RdxdyQdzdxpdydz31.5、微分方程xxeyyy396的特解形式为（B）A、xaxe3；B、xebax3)(；C、xebaxx3)(；D、xebaxx32)(解：特征方程0)3(9622rrr，321rr，特解形式为xebaxy3)(.选（B）.6、当)0,0(),(yx时，22yxxyu的极限为（A）A、不存在；B、1；C、2；D、0.7、下列级数收敛的是（B）A、121nn；B、131sinnn；C、1441nnn；D、121)1(nnn.8、微分方程02yyy的通解为（C）2A.xxeCeCy21；B.221xxeCeCy；C.221xxeCeCy；D.xxeCeCy221.解：特征方程0)1)(12(122rrrr，11r，212r，通解为221xxeCeCy.选（C）.9、设DdxdyyxI21)(，DdxdyyxI32)(，D由直线1x，1y与1yx围成，则1I与2I的大小关系是（A）A、21II；B、21II；C、21II；D、21II.10、积分2200axdxxydy的极坐标形式的二次积分为（B）A、40csc02adrrd；B、40sec02adrrd；C、20tan02adrrd；D、40sec0ardrd.二、填空题（每空3分，共30分）1、微分方程0))(,,(4yxyyxF的通解含有(独立的)任意常数的个数是2个.2、设)(xf是周期为2的周期函数，且xxxxf000)(，它的傅立叶级数的和函数为)(xS，则)5(S2.3、已知函数)ln(22yxz，则xzyyzx0.4、设平面曲线L为1||||yx，则曲线积分dseLyx||||e24.5、若曲线积分LdyyaxxydxyxyI)(3)6(2232与路径无关,则a2。6、设幂级数nnxnxxx12102522223322，其收敛半径R=21.7、设方程06333xyzzyx确定函数),(yxzz，则)1,2,1(xz518、极限xxyyxsinlim101。39、设区域D为122yx，则Ddxdyxyx)2(82.10、若均匀薄片所占区域为132:2222yxD，其密度为1，则其质量为m6.三、计算题（每小题6分，共30分）1、求幂级数15nnnx的收敛域及其和函数解：和函数15)(nnnxxS=xx515，收敛域为15x，即5151x.2、设),(yxyxfz，f具有二阶连续偏导数，求22,,yuyuxu.解：21ffxu，21ffyu，22121122211211222)(fffffffyu.3、求一阶线性非齐次微分方程xxyysinsin'满足初始条件10xy下的特解.解：)sin(sinsinCdxexeyxdxxdx1cosxCe.将10xy代入,得0C,特解1y.4、计算二重积分Ddxdyyxyx2222cos，其中D是由圆222yx，2224yx所围成的的闭区域.解：Ddxdyyxyx2222cos202cosdd0|sin22四、解下列各题（每小题7分，共14分）1、计算zds，其中：22yxz，)10(z部分解：dxdyyxyyxxyxdszyx222222122)()(12232222010dd.2、计算曲线积分LydyxdxyyIsin)cos(2,其中L：xysin从0x到x.4解：yyyyyPxQ2)sin2(sin添加辅助线段L：0y从x到0x.原式ydyxdxyyLLLsin)cos)((2Ddxdxdyy0)1()2(0sin02xydydx02sinxdx22212.五、证明题（本题6分）设数列}{nna收敛，且级数11)(nnnaan收敛，证明级数1nna也收敛。证明：因为数列}{nna收敛，则nnnalim存在，设anannlim。又级数0111))(1()(nnnnnnaanaan收敛，设其部分和为1nS，则1limnnS存在，设bSnn1lim设级数1nna部分和为2nS，则1nSnkkkaak01))(1(nnananaaaaaa)1()1(33221231201201)1(nnSaan，2limnnS])1[(lim101nnnSaanbaa0。级数1nna也收敛。52014-2015学年度第二学期《高等数学AII》期末考试试卷一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分）1、曲面624222zyx在点(2,2,3)处的法线方程为（B）A、334211zyx；B、334211zyx；C、334211zyx；D、334211zyx.2、设00(,)xfxy存在，则00000(,)(,)limhfxhyfxhyh=（A）.A、002(,)xfxy;B、00(2,)xfxy;C、00(,)xfxy;D、001(,)2xfxy.3、微分方程221)1(ydxdyx的通解为（B）A、cxytantan；B、cxyarctanarctan；C、cxyarctan；D、xyarctanarctan.4、闭区域D是由简单闭曲线L(正向)所围，下列积分不等于D面积的积分是（C）A、Lydxxdy21B、LxdyC、LydxD、Lydx5、微分方程xxeyyy356的特解形式为（B）A、xaxe3；B、xebax3)(；C、xebaxx3)(；D、xebaxx32)(.6、当)0,0(),(yx时，22yxxyu的极限为（A）A、不存在；B、1；C、2；D、0.7、下列级数收敛的是（D）A、1)1)(4(1nnn；B、12cosnn；C、13211nnn；D、11)1(nnn.8、函数),(yxfz在点),(yx可微，是函数),(yxfz在点),(yx各偏导数连续的（B）.A、充分条件;B、必要条件；C、充要条件；D、既非充分也非必要条件.9、设DdxdyyxI)(1，DdxdyyxI)sin(2，D由x轴，y轴与直线1yx围成，则1I与2I的大小关系是（D）A、21II；B、21II；C、21II；D、21II.610、积分222-2200()aaxxdxxydy的极坐标形式的二次积分为（B）A、20cos202adrrd；B、20cos203adrrd；C、0cos203adrrd；D、22cos203adrrd.二、填空题（每空3分，共30分）1、设),(yxf在1422yx具有二阶连续的偏导数，L是1422yx的顺时针方向，则[3(,)](,)xyLyfxydxfxydy的值等于6.解：[3(,)](,)xyLyfxydxfxydyDdxdy36.2、设)(xf是周期为2的周期函数，且xxxxxf00)(，它的傅立叶级数的和函数为)(xS，则)(S.))]()([21(ff3、设区域D是由1||||yx围成的图形，则二重积分Ddxdy2.4、设平面曲线L为圆周422yx，则曲线积分Ldsyx22)(16.解：Ldsyx22)(164Lds。5、设空间曲线22220xyzaLxyz，则曲线积分Ldszyx)(22232a.6、设幂级数23232555525101nnxxxxn，其收敛半径R=15.7、01222zyx确定函数),(yxzz，则)1,1,1(xz1.解：设1),,(222zyxzyxF，xFx2，zFz2，122)1,1,1(xz.8、24lim00xyxyyx4。9、设区域D：1322222yx，则Ddxdyyx)1(26.710、若均匀薄片所占区域为222:Dxya，其密度为1，则其质量m2a.三、计算题（每小题6分，共30分）1、求幂级数nnnx41的收敛域及其和函数解：和函数nnnx411)4(nnx=414xxxx4，收敛域为14x，即44x.2、设)32,(yxxyfz，其中),(vuf具有二阶连续偏导数，求22,,xzyzxz.解：212fyfxz，213fxfyz，)2(2)2(2221121122fyffyfyxz221211244fyffy。3、求方程0'2yyy的积分曲线，使该曲线与直线xy相切于原点)0,0(O.解：特征方程0)1(1222rrr，121rr，方程通解为xexccy)(21，又xexcccy)(221由已知00xy，10xy有10211ccc，解得1021cc，积分曲线为xxey.4、计算22()xydv，其中是由曲面22zxy及平面1z所围成的的闭区域.解：22()xydv1012202dzdd1023)1(2d6。或22()xydv221220()xyzdzxydxdy122000zdzdd1026412dzz。四、解下列各题（每小题7分，共14分）1、求dSz，其中为22y