含绝对值一次方程地解法

标准文档实用文案含绝对值一次方程及方程组的解法一、绝对值的代数和几何意义。绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。用字母表示为aaa0000aaa绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的绝对值是非负数。根据绝对值的意义，我们可以得到：当a0时x=±a|x|=a当a=0时x=0当a0时方程无解.二、含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)axbca型的绝对值方程的解法：①当0c时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c时，原方程变为0axb，即0axb，解得bxa；③当0c时，原方程变为axbc或axbc，解得cbxa或cbxa．（2）形如(0)axbcxdac型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cxd，求出x的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程axbcxd和()axbcxd；③分别解方程axbcxd和()axbcxd；④将求得的解代入0cxd检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)axbcxdac型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程axbcxd或()axbcxd；②分别解方程axbcxd和()axbcxd．（4）形如()xaxbcab型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知xaxbab；②当cab时，此时方程无解；当cab时，此时方程的解为axb；当标准文档实用文案cab时，分两种情况：①当xa时，原方程的解为2abcx；②当xb时，原方程的解为2abcx．（5）形如(0)axbcxdexfac型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0axb，得1xx，令0cxd得2xx；②零点分段讨论：不妨设12xx，将数轴分为三个区段，即①1xx；②12xxx；③2xx；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)axbcxdexfa型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0exf，求出x的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()axbexfcxd和()()axbexfcxd；③解②中的两个绝对值方程．三、热身练习：1、求下列方程的解：（1）|x|=7；（2）5|x|=10；（3）|x|=0；（4）|x|=–3；（5）|3x|=9标准文档实用文案［例1］解方程(1)0223|21|x(2)0|12|3xx解：|1–2x|+3–4=0解：|2x–1|=3+x［x≥-3］|1–2x|=12x–1=3+x或2x–1=-(3+x)1–2x=1或1–2x=-1x1=4或x2=32x1=0或x2=1★当方程中只含有一个绝对值时，可将绝对值看作一个整体来求解，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号，最终达到解方程的目的。解含绝对值方程的总原则是设法去掉绝对值符号，化为一般方程。由绝对值的定义：0000||aaaaaa可知，本题解法中，是先设法确定未知数的取值范围，从而得到绝对值中部分的正、负取值，最终达到去绝对值符号的目的。【小试牛刀】1、|x–2|-2=02、041|31|31x3、4–2|5–x|=3x〖x1=4，x2=0〗〖x1=121，x2=127〗〖x1=-6，x2=514(舍)〗标准文档实用文案［例2］解方程|x-|2x+1||=3解：x-|2x+1|=3或x-|2x+1|=-3|2x+1|=x–3［x≥3］或|2x+1|=x+3［x≥-3］2x+1=x–3或2x+1=-(x–1)或2x+1=x+3或2x+1=-(x+3)x1=-4(舍)x2=32(舍)x3=2x4=34∴原方程的解为x1=2，x2=34【小试牛刀】1、2+|3-|x+4||=2x〖x1=31(舍)，x2=9(舍)，x3=3，x4=35(舍)〗2、|||x–1|-1|-1|-1=0〖x1=4，x2=-2，x3=2，x4=0〗［例3］解方程|3x–2|+|x+1|=10解：令3x–2=0，x=32；令x+1=0，x=-1①当x＜-1时，②当–1≤x＜32时③当x≥32时-(3x–2)–(x+1)=10-(3x–2)+x+1=103x–2+x+1=10-3x+2–x–1=10-3x+2+x+1=103x+x=10+2–1-3x–x=10–2+1-3x+x=10–2–14x=11-4x=9-2x=7∴x=411∴x=49∴x=27(舍)标准文档实用文案∴原方程的解为x1=49，x2=411★由于零是正、负的分界点，因此解题中所用的分类方法常被称为“零点”法。在解题时应注意分段后各自求得的解是否在相应的取值范围内，从而确定它是否是原方程真正的解。【小试牛刀】1、|x–4|-|x+3|=2〖x=21〗2、15+|2x+3|-2|2–3x|=0〖x1=-2，x2=211〗3、|x–2|-3|x+1|=2x–9〖x=34〗［思考］1、已知ab0，且|a|=2，|b|=7，求a+b的值解：∵|a|=2，∴a=±2，∵|b|=7，∴b=±7又∵ab0，∴a、b异号∴a+b=5725)7(2答：a+b=-5或a+b=52、已知|3x–2|+|2y+3|=0，求|x+y+1|的值解：∵|3x–2|+|2y+3|=0∴032023yx∴2332yx标准文档实用文案∴|x+y+1|=|12332|=|61|=613、已知abc0，求||||||||||||||abcabcacacbcbcababccbbaa的值解：∵abc0∴a、b、c为三正或二负一正①当a0，b0，c0时原式=abcabcacacbcbcababccbbaa=1+1+1+1+1+1+1=7②不访设a0，b0，c0原式=abcabcacacbcbcababccbbaa=-1–1+1+1–1–1+1=-14、已知：|a|=a+1，|x|=2ax，求|x–1|-|x+1|+2的最小值与最大值解：∵|a|=a+1∴a=a+1或a=-(a+1)∴0x=1(无解)或a=21又∵|x|=2ax∴|x|=-x，∴x≤0令x–1=0，x=1，令x+1=0，x=-1①当x≤-1时|x–1|-|x+1|+2=-(x–1)+(x+1)+2=-x+1+4+1+2=4②当–1＜x≤0时|x–1|-|x+1|+2=-(x–1)–(x+1)+2=-x+1–x–1+2标准文档实用文案=-2x+2=)0(2)1(4xx答：|x–1|-|x+1|+2的最大值为4，最小值为2［例4］解方程组家庭作业：三、练习题1.解方程1121123xx2.方程21302x的解为．3.解方程200520052006xx4.解方程525xx5.a为有理数，23aa，求a的值．标准文档实用文案6.解方程134xx7.解方程：23143xxx8.解方程：3548x