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平行四边形一、基础知识平行四边形平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形定义有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一组邻边相等的平行四边形是菱形。有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。两腰相等的梯形是等腰梯形。性质1、对边平行且相等。2、对角相等，邻角互补。3、对角线互相平分1、四个角都是直角。2、对角线相等。1、四条边都相等。2、两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。1、两腰相等两底平行2、同一底上的两角相等3、两条对角线相等判定1、定义：2、判定定理：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。1、定义：2、判定定理：（1）对角线相等的平行四边形是矩形。（2）有三个角是直角的四边形是矩形。1、定义：2、判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的四边形是菱形。1、先证明是矩形再证明一组邻边相等。2、先证明是菱形再证一个角是直角。1、定义：先判断是梯形在证明两腰相等。2、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。3、对角线相等的梯形是等腰梯形。对称性轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形二、1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。三、例题例1、如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：∠BAE=∠DCF.例2、如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE=CF.例3、已知：如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE=2EA，CF=2FD.求证：∠BEC=∠CFB.（图1）CABDEFOABCDEF（图2）ABCD图3EF例4、如图6，E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF.（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.例5、如图7ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.，求证：四边形AFCE是菱形.例6、如图8，四边形ABCD是平行四边形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.（1）如果，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论.例7、如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.例8、有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释.ADBCEF(图6)MN备用图（1）备用图（2）图13图7ABCDEFO图8BCDAEFABCD图9EGOFRPDCBAEF第12题图四、练习一、选择题1.下列命题正确的是（）(A)、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形(B)、对角线相等的四边形一定是矩形(C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形(D)、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2.已知平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,则AC的取值范围为()A.6AC10；B.6AC16；C.10AC16；D.4AC163.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）44．延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，若∠DAB＝120°,∠CFE＝135°，AB＝1，则AC的长为（）（A）1（B）1.2（C）32（D）1.55．若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BD的长是（）（A）1cm（B）2cm（C）3cm（D）4cm6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线()（A）互相垂直（B）相等（C）互相平分（D）互相垂直且相等7.如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB，AB=5那么四边形AFDE的周长是（）（A）5（B）10（C）15（D）20(第7题）（第8题）（第9题）（第10题）8.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）．（A）3cm（B）4cm（C）5cm（D）6cm9.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AC将梯形分成两个三角形，其中△ACD是周长为18cm的等边三角形，则该梯形的中位线的长是()．(A)9cm(B)12cm(c)29cm(D)18cm10.如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）(A)4cm(B)6cm(C)8cm(D)10cm11.如图2，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（）（A）34（B）33（C）24（D）８12.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（)A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P13.在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且cmAC5，BD=12cm，则梯形中位线的长等于（）A.7.5cmB.7cmC.6.5cmD.6cm14.国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有ABEFDC∥∥，BCGHAD∥∥，那么下列说法中错误的是（）A．红花、绿花种植面积一定相等B．紫花、橙花种植面积一定相等ABCDOEABCDEF图2黄蓝紫橙红绿AGEDHCFB第14题ABCDEFO第10题图DABCPMN（1）（2）图9ABCDEFO图8C．红花、蓝花种植面积一定相等D．蓝花、黄花种植面积一定相等二、填空题1.如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为＿＿＿＿形。2.若正方形的对角线长为2错误!未找到引用源。cm，则正方形的面积为＿＿＿。3.若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm两部分，则这个矩形周长是＿＿＿4.已知：平行四边形ABCD的周长是30cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长5cm，则这个平行四边形的各边长为＿＿＿＿＿。5.已知：平行四边形ABCD中，AE⊥BC交CB的延长线于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，AB＋BC＋CD＋DA＝32cm，BC＝35AB，∠EAF＝2∠C，则BE长为＿＿＿，则∠C＿＿＿.6.在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是．7.已知：如图8，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AB、BC上的点，若AE＝4cm，DF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为。8．如图9（1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10(2)所示的一个菱形．对于图10(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．9．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，EF，分别是ABCD，的中点，18ADBCPEF，，则PFE的度数是．10．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．11.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是。（12题）（13题）（14题）12、如图所示，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于E，BC于F，∠BDF=15°，则∠COF=______．13.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，23ABBC，，则图中阴影部分的面积为．14、如图，矩形1111ＡＢＣＤ的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形2222ＡBＣＤ，再顺次连结四边形2222ＡBＣＤ四边中点得到四边形3333ＡＢＣＤ，依此类推，求四边形nnnnＡＢＣＤ的面积是。15、如图⑴已知O是□ABCD的对角线交点，AC＝24，BD＝38，AD＝14，那么△OBC的周长等于＿＿＿＿＿。CFDBEAP（第9题）OFEDCBAABDCO⑴ABDCO⑵ABDCE⑶ADBCFE⑷16、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D,则∠A＝＿＿＿，∠D＝＿＿＿。17、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm。18、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。19、菱形ABCD中，∠A＝60o，对角线BD长为7cm，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm。20、如果一个正方形的对角线长为2，那么它的面积＿＿＿＿＿＿。21、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB＝60o,AB＝8,则矩形对角线的长＿＿＿。22、如图3,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC＝8，AB＝6，AD＝5则△CDE周长＿＿＿。21、正方形的对称轴有＿＿＿条22、如图4，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是＿＿＿＿＿＿23、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。三、解答题1.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB的长。2.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=2,∠BAD=120°,对角线AC平分∠BCD，求等腰梯形ABCD的周长。3.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论4．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于点E，∠ADB=60°，BD=10，BE∶ED=4∶1，求梯形ABCD的腰长.5.如图，菱形ABCD，E，F分别是BC，CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°求∠CEF的度数。ABCDEFD′EDCBAFDCBAE6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．7.如图，四边形ABCD中，一组对边AB=DC=4，另一组对边AD≠BC，对角线BD与边DC互相垂直，M、N、H分别是AD、BC、BD的中点，且∠ABD=30°求：（1）MH的长（2）MN的长。8.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥B,B