第一章线性空间与线性变换知识要点:1、线性空间的概念和结构,基变换、过渡矩阵和向量的坐标变换。2、线性子空间的概念,维数定理,直和与直和分解定理。3、线性变换及其矩阵表示。4、欧氏空间与酉空间,正交阵与酉阵,正交补与正交分解。5、正交变换及其特征。6、应用于小波变换的框架理论(对偶框架,紧框架,Riesz基)。§1.1线性空间一、线性空间的概念在诸如所有n维实向量构成的集合nR等集合中,线性运算是研究向量性质的基本工具,它能从线性相关性和线性结构的角度研究向量、向量组之间的关系,这在线性代数课程中已得到充分展示。对于更加一般的元素构成的集合,也可同样在其中引入“线性运算”,进行集合性质和结构的研究。通常具有某些运算工具的集合称为“空间”。定义1(definition):设非空集合V相对于数域P具有封闭的加法和数乘运算,并且具有与任何元素之和仍为该元素的零元素,同时每个元素均具有与其之和为零元素的负元素。若V中运算满足加法结合律与交换律、数乘结合律与分配律和乘1不变性,则称V为数域P上的线性空间。注1(note):数域是指对加减乘除四则运算封闭的数集,如有理数集、实数集和复数集等。注2:易证零元素和负元素均是唯一的,零元素为0,元素x的负元素记为x。注3:任何线性空间必含有零元素0,只含有零元素0的线性空间称为零空间,记为0。对于元素,xy和数,,x与y的和记为xy,与x的数乘记为x,xy称为x与y的线性运算或线性组合。一个集合是否构成一个线性空间,主要是看所引入的线性运算是否具有封闭性。例1(example):数域P上的n维(行或列,以后若不加声明均指列)向量空间nP。按n维向量的线性运算,nP构成数域P上的线性空间。例2:nP中的子集0SxAx,其中A为P上mn阶矩阵。按nP中的线性运算,非空子集S是封闭的,从而构成数域P上的线性空间。例3:数域P上的mn阶矩阵空间mnP。按mn阶矩阵的线性运算,mnP构成数域P上的线性空间。例4:数域P上的多项式空间[]Px。按多项式的线性运算,[]Px构成数域P上的线性空间。例5:区间[,]ab上的实值连续函数空间[,]Cab。按函数的线性运算,[,]Cab构成数域P上的线性空间。例6:nP中子集0VxAxb,其中mnAP,mbP。因为22Axbb(),所以xV时,2xV,即数乘运算不满足封闭性,因而V不构成数域P上的线性空间。例7:设0VxRx,定义V中的“加法”和“数乘”为:=xyxy,=xx,,xyV,R,则V为R上的线性空间,其中V中零元素为1,x的负元素为1x。以上各例的完整证明留给读者完成。二、线性空间的结构由于线性空间中已建立了线性的运算工具,因此可类似于n维向量空间中的做法,考察元素间的线性相关性和线性空间的结构。为习惯起见,以后线性空间中元素仍称为向量。定义2:设12,,,r为数域P上的线性空间V中的一组向量,若有P中不全为零的一组数12,,,rkkk,使得11220rrkkk,则称12,,,r线性相关,否则称为线性无关。显然,若使得11220rrkkk成立的数12,,,rkkk只能全为0,则向量组12,,,r必是线性无关的。由此可知,单个非零向量也是线性无关的。定义3:设线性空间V中有一组非零向量12,,,r,满足:(1)12,,,r线性无关;(2)V中任一向量均可由12,,,r线性表示。则称12,,,r为V的一组基,数r称为V的维数,记为dimV。注1:线性空间的基不是唯一的,但其维数是唯一确定的。注2:线性空间的基可以理解为空间中的参照系,能将所有元素线性表示出来。定理1:设12,,,n为数域P上线性空间V的一组基,则对于任何向量V,存在唯一一组数12,,,nkkkP,使得1122nnkkk,从而112212,,,nnnVkkkkkkP。证明:对于向量1122nnkkk,若有一组数12,,,nkkkP,使得1122nnkkk,则111222()()()0nnnkkkkkk。由基12,,,n的线性无关性可知,1122,,,nnkkkkkk。因此,向量在基12,,,n下的线性表示是唯一的。由基的定义可知,112212,,,nnnVkkkkkkP。由线性运算的封闭性可知,对于任意12,,,nkkkP,1122nnkkkV,从而112212,,,nnnkkkkkkPV。因此,112212,,,nnnVkkkkkkP。注:集合112212,,,nnnkkkkkkP称为线性空间V的结构表示。1122nnkkk称为向量在基12,,,n下的结构表达式。若将记为1212,,,nnkkk(),n维向量12nkkk称为在基12,,,n下的坐标。例8:1,0,,0,1,,00,0,,1TTT(),(0),,()为nP中的一组基,ndimPn;100010000000000000000000001mnmnmn,,,为mnP中的一组基,mndimPmn;211,,,,nxxx为[]nPx(所有以P中数为系数,次数不超过1n的多项式的集合)中的一组基,[]ndimPxn;11,,,,nxx中任意有限个向量均为[]Px或[,]Cab中线性无关的向量组,因而[]Px或[,]Cab均不是有限维的线性空间。以上结论由读者自行证明。例9:试证1112212210111111====00001011EEEE,,,为线性空间22R中的一组基,并求矩阵2102B在这组基下的坐标。证明:设1112123214220kEkEkEkE,则1234234344+++++00=+00kkkkkkkkkk。由此可得,1234====0kkkk。因此,11122122EEEE,,,线性无关。对于22R中的任意矩阵=abAcd,总有11122122=()()()AabEbcEcdEdE,因此,11122122EEEE,,,为22R中的一组基,并且矩阵2102B在这组基下的坐标为(1,1,2,2)T。注:若令1112123214222102kEkEkEkE,可得1234234344=2=1=0=2kkkkkkkkkk解之即得,12341,1,2,2kkkk。从而矩阵2102B在基11122122EEEE,,,下的坐标为(1,1,2,2)T。三、基变换、过渡矩阵和坐标变换在实际问题中,某个参照系中的描述和分析较为复杂和困难时,往往需要建立新的参照系,使得原问题形式简化和分析简单。就像转换观察角度后,问题的形式和性质可以变得更加简单明了。因此,当线性空间的一组基被理解为空间中的一种参照系时,自然就存在基之间的转换。定义4:设12,,,n和12,,,n为线性空间V中的两组基,若11112121nnppp21212222nnppp…………………1122nnnnnnppp则矩阵()ijnPp称为从基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵。将上述基变换表达式简记为1212,,,,,,nnP,称之为基变换公式。定理2:线性空间基之间的过渡矩阵是可逆的。证明:设从基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为P,则1212,,,,,,nnP。对于任何列向量12,,,Tnkkk,120nkkPk时,必有112212112212,,,,,,0nnnnnnkkkkkkkPkk。由基12,,,n的线性无关性,可得120nkkk。再由线性代数知识可知,过渡矩阵P是可逆的。推论:设P为基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵,则基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为1P。证明:设基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为Q,则由1212,,,,,,nnP,1212,,,,,,nnQ可得121212,,,,,,=,,,nnnPQP。比较左、右对应项在基12,,,n下表达式的系数,可得111QP(记为E),即1QP。这说明12,,,n到12,,,n的过渡矩阵为1P。注:由一组基12,,,n和一个可逆矩阵P,可构造出另一组基12,,,nP。定理3:设向量在基12,,,n和基12,,,n下的坐标分别为12n和12n,P为基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵,则1122nnP或11221nnP。证明:由11221212,,,,,,nnnn()=()及1212,,,,,,nnP得,11221212,,,,,,nnnnP()=(),从而1122nnP或11221nnP。注:上述公式称为向量在不同基下的坐标变换公式。例10:验证21231,,xx和21231,1,1xx均为3[]Px中的基,并求前一组基到后一组基的过渡矩阵,以及2123pxx在后一组基下的坐标。解:考察122330kkk,即21230kkxkx对任何数x成立,则由多项式理论可知123===0kkk。因而123,,是线性无关的,并构成3[]Px的一组基。由21121231231,1,12xx及矩阵111012001P可逆知,123,,也构成3[]Px的一组基,并且基123,,到基123,,的过渡矩阵为P。由2212312348(1)3(1)483pxxxx可得,p在基123,,下的坐标为483。注:也可先求出1111012001P,再计算出111140122=800133。例11:已知4R的两组基分别为1234(1,1,2,1),(0,2,1,2),(0,0,3,1),(0,0,0,4)TTTT,1234(1,0,0,0),(1,2,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,1)TTTT,试求基1234,,,到基1234,,,的过渡矩阵。解:设12341234,,,,,,P,则1