病床安排问题数学建模

眼科病床的合理安排摘要眼科病床的合理安排是当下值得关注的问题。合理的病床安排，不仅可以让医院资源得到有效的利用，同时也会给病人节约更多的时间与花费。本文通过建立合理的数学模型，得到了更加科学的病床安排方案。对于问题一，我们从病人的不满意程度和医院床位使用效率两方面去综合考虑，建立评价模型。第一个综合指标为病人的不满意程度，本文从病人的时间和消费出发建立不满意度函数，进一步通过层次分析求出各不满意度指标的权重；第二个综合指标是用“归一分析法”建立的床位工作效率指标，即期内床位实际周转次数床位效率指数床位使用率期内床位标准周转次数S对于问题二，以病人等待住院时间和等待手术时间最短为目的，建立优先权排队模型，确定一周内每一天5种病入院的优先级。通过编程进行大量数据的仿真，利用问题一的评价模型对仿真结果进行评价，发现此时病人不满意度下降，床位效率明显提升。对于问题三，通过卡方拟合优度检验发现病人等待入院时间是服从均匀分布，利用概率论与数理统计的知识，本文通过求得病人等待时间的置信区间，估计出各类病人的住院时间区间。对于问题四，白内障手术安排方案有三种：周一、三或周二、四或者周三、五，分别求出三种方案中5种病的优先级，再通过编程进行大量数据的仿真，最后通过问题一中的评价体系对三种方案进行评价，发现当白内障手术应该调整在周三、五时，病人不满意度最低，同时床位效率指数也很高。对于问题五，本文建立单目标规划模型，首先根据各种病人数的比例和住院时间判断出初始病床分配比例，得到在新的分配比例下所有病人的平均逗留时间，从而建立目标函数，然后确定规划模型的约束条件。最后用LINGO对此模型进行求解，结果得出：患病种类白内障（单）白内障（双）青光眼视网膜疾病外伤分配床位数1317172210对应比例0.160.220.220.280.12关键字：归一分析法优先权排队理论程序仿真置信区间单目标规划一问题重述1.1问题背景某医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。1.2所求问题问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二模型假设1.假设只有外伤属于急症，青光眼和视网膜疾病不含急症；2.假设所有病人都不会再入院后转院；非急症病人都服从医院的病床安排，愿意等待；3.只考虑题目中的五类病人，不考虑其他类型病人；4.不考虑医疗水平的提高和突发事件的影响；5.假设医生的手术都是成功的，即病人在成功做完手术后，观察一段时间后即可出院，不会再出现病人病情加重，需要继续动手术的情况；6.假设在前三问中，白内障手术只在周一、周三做，青光眼和视网膜疾病的手术只能在其他时间做，急症手术在任何时间都可以做。三基本符号说明四问题的分析本文所研究的是某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。已知该医院住院部共有病床79张，医院眼科手术主要分四大类：白内障（包括单眼和双眼）、视网膜疾病、青光眼和外伤。当前医院对对全体非急症病人是按照FCFS规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，为了得到合理的病床安排方案、提高对医院资源的有效利用，我们首先考虑建立合理的评价指标体系来评价按该规则建立的病床安排模型的优劣。对于问题一，从病人的角度看，病人到医院看病到出院时间损耗可以分为以下三个阶段：平均等待时间（门诊到入院）、平均准备时间（入院到手术）、平均恢复时间（手术到出院）。而平均恢复时间很明显是一个不可优化的统计量，因符号符号说明病人的不满意度1病人的时间不满意度2病人的消费不满意度床位效率指数1t所有病人（外伤类除外）平均等待时间2t所有病人（外伤类除外）平均准备时间iw权重值1iT第i类病人平均等待时间2iT第i类病人平均住院时间iC第i类病人初始分配床数iD第i类病人床位波动值此合理的安排方案要求缩短病人就诊—住院时间。这可以从病人在这段时间内的费用和时间（天数）方面来构建病人的不满意度指标，然后利用层次分析法得出病人在时间和消费方面不满意度指标的权值，从而得到到从病人方面来考虑的层次分析评价模型。从医院的角度看，为了提高病床的有效使用率，我们考虑以床位效率指数作为评价指标，它将床位使用的负荷指标（床位使用率）和效率指标（床位周转次数），通过数学处理，使两者合并数值趋向“1”，并以“1”为判断标准，来分析床位使用的效率状况，是一个能较好地反映病床工作情况的综合性指标。对于问题二，在确定病人入院规则时，需要考虑以下几点：（1）白内障病人只能安排在周一与周三做手术；（2）其它病人除外伤病人外不能在周一和周三做手术；（3）不同的病人的术前准备时间不一样。在考虑这些因素后，重新拟定服务原则，使得建立的入院规则能够让病人的平均等待时间、平均准备时间尽量缩短同时使得病床的有效使用率可以提高。然后用MATLAB程序进行大量数据的仿真，根据仿真结果，以问题一的评价指标对该规则下的模型进行检验。对于问题三，为了能够让病人在门诊时就能被告知大致入住医院的时间区间，本文根据问题二制定的规则后所得结果对病人的等待时间进行了统计。发现等待时间相对均匀，如果把时间看成随机变量，经过检验，该随机变量概率分布是一种均匀分布，可以对其正态化以后的统计量进行给定置信度的置信区间估计，从而可以建立区间估计模型对门诊病人的等待时间进行估计，然后安排病人入院，这样就可在病人门诊时告知其大致的入院时间。对于问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，原来的白内障手术时间可能会导致病床利用率可能会下降。在周末不做手术的前提下，可利用问题一的综合评价体系作为检验标准，分别对把白内障手术安排在周一、周三或周二、周四或周三、周五，再用模型一中建立的综合评价指标进行评价，比较评价结果，从而选取最佳安排方案。对于问题五，要求就医院病床安排采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，建立使得所有病人平均逗留时间最短的病床比例分配模型；由此我们想到运用单目标规划规划的方法来解决该问题，建立起目标函数，通过约束条件，运用LINGO求解即可得到五种病患的床位数的安排。五模型的建立和求解5.1问题一的模型建立和求解5.1.1病人不满意度函数的构建本问要求建立评价医院病床安排合理与否的指标体系，我们首先从病人的角来看，病人从门诊到住院有等待时间消耗的成本，从住院到手术有床位服务成本，故而平均门诊--手术时间越长，患者的损失（包括时间损失和经济损失）也就越大。而病床安排的合理性在一定程度上取决于病人的感受（病人的不满意度），这可以用病人的时间不满意度1和消费不满意度2两个指标衡量。其中1包括等待时间不满意度和准备时间不满意度两个指标；2包括等待时间消费不满意度和准备时间消费不满意度两个指标，由此可得的如下的层次分析示意图。图1指标层次结构示意图注：图中关于i表示该指标的数值利用上图的这些指标，我们建立病人不满意度函数如下：11112122321422vwwvww式中，1v、2v表示1和2对的影响权重，1w、2w分别表示11和12对1的影响权重，3w、4w分别表示21和22对2的影响权重。其中四个指标的计算公式如下：（1）由于等待时间经检验发现其服从均匀分布，所以我们定义等待时间不满意度11和等待时间消费不满意度21为：1min1121maxmintttt上式中，1t表示平均等待时间（不考虑外伤类病人），其中maxt为最大等待时间，mint为最小等待时间。（2）我们定义准备时间不满意度12和准备时间消费不满意度22为：12221122ff病人的不满意度𝛽时间不满意度𝛽1等待时间不满意度𝛽11准备时间不满意度𝛽12消费不满意度𝛽2等待时间消费不满意度𝛽21准备时间消费不满意度𝛽2221211212101113213tttt22222222202224214tttt上述三式中：21t表示平均准备时间，1f表示白内障病人（包括单双）占全部病人（外伤类除外）的比例，2f表示青光眼和视网膜疾病两类患者占全部病人（外伤类除外）的比例，而1表示白内障病人在准备时间方面的不满意度，2表示青光眼和视网膜疾病两类患者在准备时间方面的不满意度，很明显，121ff。5.1.2层次分析确定权重一般而言，病人对门诊--手术所消耗的时间和消费都重视，不失一般性，我们取10.5v，20.5v。由于等待时间不和准备时间均可以从不同的角度（时间和天数）来衡量病人对医院安排方案的不满意程度，故而可以用层次分析法来确定1w、2w、3w、4w的值。1w、2w表示11和12对1的影响权重，故其权重可以由平均等待时间1t和平均准备时间2t的大小来确定，其计算方式：1112twtt，2212twtt。3w、4w表示21和22对2的影响权重，故其权重可以由平均等待时间和平均准备时间的日消耗成本的大小来确定。经查找资料发现每位患者就诊等待入院时每天损失成本系数126a（元）[7]，每位患者住院时每天医院消耗资源成本系数37.5b（元）[8]，由此可以计算得：32awab，32abwab。最终得到的病人不满意度函数如下：12111221221212112222ttaabttttabab5.1.2归一分析法医院床位的利用情况是反映医院工作效率的主要指标。如果仅从单一的病床周转次数和床位使用率这两项指标去分析床位的工作效率，就很难看出床位在运转和使用过程中存在哪些问题。归一分析法就是将病床使用率和病床周转次数综合起来，建立床位工作效率指数模型[9]。床位工作效率指数是一个能较好地反映病床工作情况的综合性指标。床位效率指数是将床位使用的负荷指标（床位使用率）和效率指标（床位周转次数），通过数学处理，使两者合并数值趋向“1”，并以“1”为判断标准，来分析床位使用的效率状况。亦称床位工作效率的“归一分析法”。其中：平均每天床位实际周转次数床位效率指数床位使用率平均每天床位标准周转次数其中，床位使用率的求解公式如下：100%实际占用总床日数床位使用率实际开放总床日数根据题意，床位使用率可取1