2020届江苏高三数学模拟试题以及答案

江苏省2020届高三第三次调研测试1．已知集合{1023}U，，，，{03}A，，则UAð▲．2．已知复数i13iaz（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为▲．3．右图是一个算法流程图．若输出y的值为4，则输入x的值为▲．4．已知一组数据6，6，9，x，y的平均数是8，且90xy，则该组数据的方差为▲．5．一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为▲．6．已知函数2220()20xxxfxxxx，≥，，，则不等式()()fxfx的解集为▲．7．已知na是等比数列，前n项和为nS．若324aa，416a，则3S的值为▲．8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线22221yxab（00ab，）的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．若△AOB的面积为4ab，则该双曲线的离心率为▲．9．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3cm，BC=1cm，CD=2cm．将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为▲cm3．10．在平面直角坐标系xOy中，若曲线sin2yx与1tan8yx在2，上交点的横坐标为，则sin2的值为▲．11．如图，正六边形ABCDEF中，若ADACAE（，R），则的值为▲．12．如图，有一壁画，最高点A处离地面6m，最低点B处离地面3.5m．若从离地高2m的C处观赏它，则离墙▲m时，视角最大．13．已知函数2()23fxxxa，2()1gxx．若对任意103x，，总存在223x，，使得12()()fxgx≤成立，则实数a的值为▲．结束Y输出yN（第3题）开始输入xy←3xx≤1y←3+xABCDEF（第11题）ABC623.5（第12题）14．在平面四边形ABCD中，90BAD，2AB，1AD．若43ABACBABCCACB，则12CBCD的最小值为▲．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，(sinsin)()(sinsin)aABcbBC．（1）求角C的值；（2）若4ab，求sinB的值．16．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，BPBC，E，F分别是PC，AD的中点．求证：（1）BE⊥CD；（2）EF∥平面PAB．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221yxCab：（0ab）的上顶点为03A，，圆2224aOxy：经过点01M，．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M作直线1l交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线1l的垂线2l交圆O于另一点N．若△PQN的面积为3，求直线1l的斜率．18．南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2m，宽1.5m的长方形牛皮纸ABCD裁剪错误!未找到引用源。风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到AEF处，点A落在牛皮纸上，沿AE，AF裁剪并展开，得到风筝面AEAF，如图1．（1）若点E恰好与点B重合，且点A在BD上，如图2，求风筝面ABAF的面积；（2）当风筝面AEAF的面积为23m时，求点A到AB距离的最大值．ABCDPEF（第16题）xOA（第17题）yMNPQ（图1）ABCDFEA（图2）AB（E）CDFA19．已知数列na满足11(2)(21)nnnnnaaaa（2n≥），1nnbna（nN）．（1）若1=3a，证明：nb是等比数列；（2）若存在kN，使得1ka，11ka，21ka成等差数列．①求数列na的通项公式；②证明：111lnln(1)22nnnana．20．已知函数2()1lnaxfxx（0a），e是自然对数的底数．（1）当0a时，求()fx的单调增区间；（2）若对任意的12x≥，1()2ebfx≥（bR），求ba的最大值；（3）若()fx的极大值为2，求不等式()e0xfx的解集．21．A．[选修4-2：矩阵与变换]已知abcd，，，R，矩阵20abA的逆矩阵111cdA．若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线21yx，求曲线C的方程．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A，B的极坐标分别为π42，，5π224，，曲线C的方程为r（0r）．（1）求直线AB的直角坐标方程；（2）若直线AB和曲线C有且只有一个公共点，求r的值．C．[选修4-5：不等式选讲]已知aR，若关于x的方程2410xxaa有实根，求a的取值范围．22．现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为，求的概率分布及数学期望．23．设202(1)inniinPC，212(1)jnnjjnjQC．（1）求222PQ的值；（2）化简nnnPQ．文章学习积分12345概率1919191612视频学习积分246概率161312表1表2参考答案1、{12}，2、33、14、1455、126、(20)(2)，，7、148、29、7310、15811、4312、613、1314、26215、（1）π3C．（2）39sin26B．16、略17、（1）椭圆C的方程为22143yx．（2）若1l的斜率为0，则463PQ，2MN，所以△PQN的面积为463，不合题意，所以直线1l的斜率不为0．设直线1l的方程为1ykx，由221431yxykx，消y，得22(34)880kxkx，设11Pxy，，22Qxy，，则2124262134kkxk，2224262134kkxk，所以221212()()PQxxyy22212246121134kkkxxk．直线2l的方程为11yxk，即0xkyk，所以．22222111kMNkk所以△PQN的面积12SPQMN2222461211232341kkkk，解得12k，即直线1l的斜率为12．18、（1）方法一：建立直角坐标系四边形ABAF的面积为24m3．方法二：设ABF，则2ABA．在直角△ABD中，3tan24ADAB，所以22tan341tan，解得1tan3或tan3（舍去）．所以2tan3AFAB．所以△ABF的面积为21222m233，所以四边形ABAF的面积为24m3．（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系．设AEa，AFb，00Axy，，则直线EF的方程为0bxayab，因为点A，A关于直线EF对称，所以0000022yaxbbxayab，，解得20222abyab．因为四边形AEAF的面积为3，所以3ab，所以3043232333ayaaa．因为02a≤，302b≤，ABCDFExyA以2323a≤≤．设33()faaa，2323a≤≤．244(3)(3)(3)9()1aaafaaa，令()0fa，得3a或3a（舍去）．列表如下：当3a时，()fa取得极小值，即最小值433，所以0y的最大值为32，此时点A在CD上，3a，1b．答：点A到AB距离的最大值为3m2．方法二：设AEa，AEF，则tanAFa．因为四边形AEAF的面积为3，所以3AEAF，即2tan3a，所以23tana．过点A作AB的垂线AT，垂足为T，则sin2sin2sin2ATAEAEa22224332232sincos2tan33sincostan11aaaaaaa．因为02AE≤，302AF≤，所以2323a≤≤．（下同方法一）19、（1）由11(2)(21)nnnnnaaaa，得1122nnnaa，得11121nnnnaa，即12nnbb因为1=3a，所以11121=03ba，所以12nnbb（2n≥），所以nb是以1b为首项，2为公比等比数列．（2）①设111a，由（1）知，12nnbb，所以21121222nnnnbbbb，即112nnna，所以112kkka．因为1ka，11ka，21ka成等差数列，则11(2)(22)2(21)kkkkkk，所以120k，所以0，所以1nna，即1nan．②要证111lnln(1)22nnnana，即证111()ln2nnnaan，即证1112ln1nnnn．设1ntn，则111111tttnntt，且1t，从而只需证，当1t时，12lnttt．设1()2lnfxxxx（1x），则22121()1(1)0fxxxx，所以()fx在(1)，上单调递增，所以()(1)0fxf，即12lnxxx，因为1t，所以12lnttt，所以，原不等式得证．a2333，332，()fa0+()fa单调递减极小值单调递增AABCDFET20、（1）()fx的定义域为110ee，，．由，222112(1ln)2(ln)2()(1ln)(1ln)axxaxaxxxfxxx令()0fx，因为0a，得12ex，因为112ee，()fx的单调增区间是12e，．（2）当0a时，1(1)02ebfa，不合题意；当0a时，令()0fx，得10ex或112eex，所以()fx在区间10e，和112ee，上单调递减．因为1121ee2，，且()fx在区间12e，上单调递增，所以()fx在12ex处取极小值2ea，即最小值为2ea．若12x≥，1()2ebfx≥，则122eeba≥，即eba≥．不妨设0b，则ebbba≤．设()ebbgb（0b），则1()ebbgb．当01b时，()0gb；当1b时，()0gb，所以()gb在01，上单调递增；在1，上单调递减，所以()(1)gbg≤，即1eebb≤，所以ba的最大值为1e．（3）由（2）知，当0a时，()fx无极大值，当0a时，()fx在10e，和112ee，上单调递增；在12e，上单调递减，所以()fx在12ex处取极大值，所以122(e)2eaf，即ea．设()()exFxfx，即2e()e1lnxxFxx，当10ex，，1ln0x，所以()0Fx；当1ex，，2e(12ln)()e(1ln)xxxFxx，由（2）知，eexx≤，又212ln(1ln)xx≤，所以()0Fx≥，且()Fx不恒为零，所以()Fx在1e，上单调递增．不等式()e0xfx，即为()0(1)Fx