第五讲---等边三角形

1/821NMFEDBCA第五讲等边三角形考点方法破译1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．经典考题赏析【例1】如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上．AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．(1)求证：△ACE≌△DCB;(2)求∠AFD的度数；(3)判断△CMN的形状【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．解：(1)∵等边三角形DAC与等边三角形EBC∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°∴∠ACE＝∠DCB∴在△ACE和△DCB中，CBCEDCBACEDCAC，∴△ACE≌△DCB(2)∵∠ACE≌∠DCB,∴∠1＝∠2又∵∠1＋∠DFA＝＝∠2＋∠ACD∴∠AFD＝∠ACD＝60°2/8EPQDCABEPQDCAB(3)在△ACM和△DCN中,6012DCNACMDCAC∴△ACM≌△DCN∴CM＝CN又∵∠DCN＝60°∴△CMN是等边三角形．【变式题组】01．(天津)如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的大小等于__________度02．(荆州)如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．03．如图，在正△ABC中，D,E分别是BC、AC上的一点，且AE＝CD．AD与BE相交于点P，且BQ⊥AD于Q．求证BP＝2PQ04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q是BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于D，求DE的长．CQPBAEDCBA3/8【例2】P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，求∠APC的度数【解法指导】由于∠PAB＝∠PAC,因而PA平分∠BAC,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB边上截取；方法二：延长AC边，又由于∠BPA＝150°是特殊角，考虑∠BPA的完整性，因而取方法二的可能性更大．解：延长AC到D，使AD＝AB，连接PD、BD,∵∠PBA＝8°∠PAB＝22°∴∠BPA＝150°，在△ABP和△ADP中，APAPDAPBAPADAB∴△ABP≌△ADP∴∠APB＝∠APD＝150°，BP＝DP,∠PBA＝∠APD＝8°∴∠BPD＝60°,∴△BPD是正三角形∵∠PBC＝30°∴∠PBC＝∠DBC在△PBC和△DBC中，BCBCDBCPBCBDBP∴△PBC≌△DBC,∴PC＝CD∴∠CPD＝∠CDP＝8°∴∠APC＝∠APD一∠CPD＝150°一8°＝142°【变式题组】01．如图，D是等边三角形ABC内一点，E为ABC外部一点，满足DA＝DB，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC．求∠BED的度数．PCBADPCBAEDCAB4/8(4)NMGDCBA02．如图．D是△ABC外一点．AB＝AC＝BD＋CD，∠ABD＝60°求∠ACD的度数．【例3】如图(1)，△ABC等边三角形，△BDC是顶角120°的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB、AC交于点M和N，连接MN．(1)探究：MN、NC之间的关系，并加以证明;(2)若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，再探究线段BM、MN、NC之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由【解法指导】对于(1)，这时在△DMB中，有∠DBM＝∠DBC＋∠CBA＝30°＋60°＝90°为了把BM，MN，NC集中到一个三角形中去，将△DMB绕D点顺时针旋转120°得到△DGC．如图(3)．从而有MB＝GC．而此时恰又有△MND≌△GND·得MN＝NG＝NC＋CG＝NC＋BM．对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MN＝CN一BM解(1)关系为MN＝BM＋NC证明：延长AC到G，使CG＝BM，连接DG，如图(3)DCAB(1)NMDCBA(2)DCBA(3)NMGDCBA5/8∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD＝90°在△DMB和△DGC中；DB＝DC．BM＝CG∴△DMB≌△DGC∴DM＝DG．∠MDB＝∠GDC．在△MND和△GND中，ND公用，DM＝DG，∠MDN＝60°∠GDN＝∠GDC＋∠DCN＝∠MDB＋∠CDN＝60°∴△MND≌△GND∴MN＝GN＝GC十NC＝BM＋NC(2)此时．图形如图(4)，有关系式MN＝CN—BM理由如下：在CN上截取GG＝BM．连接DG，如图(4)与(1)中情况类似．可推得∠ABD＝∠ACD＝90°．且Rt△DMB≌△DGC，得DM＝DG．∠MDB＝∠GDC仍与(1)中情况娄似，可推得△MND≌△GND．就有MN＝GN＝NC—CG＝NC—BM．【变式题组】01．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成四边形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合．两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于点E，F时，(如图1)，通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点F时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由．6/802．如图．四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°求证：AC＝BC＋DC．巩固练习反馈提高01．如图．△ABC是等边三角形，AD⊥BC，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC＝()A105°B85°C95°D75°02．如图，等边△ABC，D在AC上，延长BC到E．使CE＝CD，若BD＝DE，给出下列结论：①BD平分∠ABC②AD＝21AB③CE＝21BC④∠A＝2∠E，其中正确结论的个数是()A．4个B3个C2个D1个03．(河北)如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在A’处，且A’在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________cm04．在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°，得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP＝__________．DCBABEDCABEDCAODBPCADEBFCA第3题图第4题图第5题图7/805．如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，试判断△DEF是否为等边三角形，并说明理由．06．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数)．07．如图，点D是等边△ABC边AB上的一点．AB＝3AD，DE⊥BC于点E，AE、CD相交于点F(1)求证：△ACD≌△BAE：(2)过点C作CG⊥AE，垂足为点G，探究CF与FG之间的数量关系，并证明．EDBFCA8/808．如图：△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC，AE．求证：△ADE≌△DFC09．如图：△ABC是等边三角形，点D、E分别在CA、AB的延长线上，AD＝BE．DB的延长线交EC于F．求证：(1)DB＝EC；(2)∠BFC＝60°10．(常德)如图1，若△ABC与△ADE为等边三角形，M、N分别是EB、CD的中点，易证：CD＝BE，△AMN是等边三角形．(1)当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD＝BE是否仍然成立?若成立请证明，若不成立请说明理由；(2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形?若成立请证明，若不成立请说明理由．FEDBCAFEDCBA(2)EDBNMCA(1)