概率论与数理统计教程-魏宗舒等编-第一章

第一章事件与概率1.1写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。解(1)记9个合格品分别为921,正正正，，，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正，，，，，，，)()()(39343次正正正正正)}()()(9898次正次正正正，，，，，，A){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1，2，3个黑球分别为1b，2b，3b，4个红球分别为1r，2r，3r，4r。则{1，2，1b，2b，3b，1r，2r，3r，4r}(ⅰ)A{1，2}(ⅱ)B{1r，2r，3r，4r}1.2在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。(1)叙述CAB的意义。(2)在什么条件下CABC成立？(3)什么时候关系式BC是正确的？(4)什么时候BA成立？解(1)事件CAB表示该是三年级男生，但不是运动员。(2)CABC等价于ABC，表示全系运动员都有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。1.3一个工人生产了n个零件，以事件iA表示他生产的第i个零件是合格品（ni1）。用iA表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。解(1)niiA1;(2)niiniiAA11;(3)ninijjjiAA11)]([;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为njijijiAA1,；1.4在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解样本点总数为7828A。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”包含6322151323AAA个样本点。于是14978632)(AP。1.5一个小孩用13个字母TTNMMIIHECAAA,,,,,,,,,,,,作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解显然样本点总数为!13，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含!2!2!2!3个样本点。所以!1348!13!2!2!2!3)(AP1.6一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含79A个样本点，于是7799)(AAP。1.7某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？解用A表示“牌照号码中有数字8”，显然44109100009)(AP，所以1)(AP-4410911000091)(AP1.91.10任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是1；(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1；解(1)答案为51。(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为52104(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含210个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须7a，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是1001)(AP。1.13在ABC中任取一点P，证明ABCABP与的面积之比大于nn1的概率为21n。解截取CDnDC1，当且仅当点P落入BAC之内时ABCABP与的面积之比大于nn1，因此所求概率为22)(CDDCABCCBAAP的面积有面积2221CDDCn21n。1.14在线段AB上任取三点321,,xxx，求：(1)2x位于31xx与之间的概率。(2)321,,AxAxAx能构成一个三角形的概率。解(1)31)(AP(2)211213131)(BP1.15己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。1.16设1A、2A为两个随机事件，证明：(1))()()(1)(212121AAPAPAPAAP;(2))()()()()()(121212121APAPAAPAAPAPAP.证明(1)1)()(2121AAPAAP)(21AAP=)()()(12121AAPAPAP(2)由(1)和0)(21AAP得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。1.18对于任意的随机事件A、B、C，证明：)()()()(APBCPACPABP证明)()()()]([)(ABCPACPABPCBAPAP)()()(BCPACPABP1.19在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。(1)))(()(ACABAPCBAP=)()(ACABPAP=30%(2)%7)()(ABCABPCABP(3)%23)]()()([)()(ABCPBCPABPBPCABP%20)]()()([)()(ABCPBCPACPCPBACPCBAP(+CAB+)BAC=)(CBAP+)(CABP+)(BACP=73%(4))(ABCBACCABP%14)()()(ABCPBACPCABP(5)%90)(CBAP(6)%10%901)(1)(CBAPCBAP1.21某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？解用iA表示“第i张考签没有被抽到”，Ni,,2,1。要求)(1NiiAP。niNNAP1)(，njiNNAAP2)(，……，0)(1nNNNNAAPnNiiNNNAP11)(1nNNN11)1(11nNijiNNNAAP22)(1nNNN22)1(12，……所以nNiiNiiNiNAP111)1()(1.22从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为nniiiaaa2121，当且仅当n,,2,1的排列)(21niii中存在k使kik时这一项包含主对角线元素。用kA表示事件“排列中kik”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。则ninnAPi1!)!1()()1(!)!2()(njinnAAPji，……所以!1)1(!)!()1()(11111inininAPniiniiNii1.23已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解用gb,分别表示男孩和女孩。则样本空间为：)},,)(,,}(,,),,(),,,)(,,(),,,(),,,{(gggbgggbgggbbbgbgbgbbbbb其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”，B表示“有男孩”，则768/78/6)()()|(APABPABP1.24设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。(2)在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”，B表示“所取产品都是不合格品”，则2112)(MmMmmAP22)(MmBP)()()()()|(APBPAPABPABP121mMm(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”，D表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则2211)(MmMmMmCP211)(MmMmDP)()()()()|(CPDPCPCDPCDP12mMm1.28n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：(1)已知前1k)(nk个人都没摸到，求第k个人摸到的概率；(2)第k)(nk个人摸到的概率。解设iA表示“第i个人摸到”，ni,,2,1。(1)11)1(1)|(11knknAAAPkk(2))(kAP)(11kkAAAPnknnnnn1111211.32某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？解则159)(1AP，153)(2AP，152)(3AP，151)(4AP71)|(1ABP，72)|(2ABP，73)|(3ABP，71)|(4ABP由贝时叶斯公式得229)|()()|()()|(41111kkkABPAPABPAPBAP1.35证明：若三个事件A、B、C独立，则BA、AB及BA都与C独立。证明（1）)()()())((ABCPBCPACPCBAP=)()(CPBAP（2）)()()()()()CPABPCPBPAPPABC（3）)())(())((ABCACPCABAPCBAP=)()(CPBAP1.37已知事件BA,相互独立且互不相容，求))(),(min(BPAP（注：),min(yx表示yx,中小的一个数）。解一方面0)(),(BPAP，另一方面0)()()(ABPBPAP，即)(),(BPAP中至少有一个等于0，所以.0))(),(min(BPAP1.38试举例说明由)()()()(CPBPAPABCP不能推出)()()(BPAPABP一定成立。解设},,,,{54321，641})({1P