高一数学人教a版必修二-课件-第四章-圆与方程-4.3.2--

4．3空间直角坐标系4．3.1空间直角坐标系4．3.2空间两点间的距离公式学案·新知自解1．理解空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标描出点的位置，会由点的位置写出点的坐标．2．掌握空间两点间的距离公式，理解公式使用的条件，会用公式计算或证明．空间直角坐标系的建立及坐标表示1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：_______________，这样就建立了一个______________________.②相关概念：______叫作坐标原点，_______________叫作坐标轴，通过每___________的平面叫作坐标平面，分别称为_____平面、_____平面、_____平面．x轴、y轴、z轴空间直角坐标系Oxyz点Ox轴、y轴、z轴两个坐标轴xOyyOzzOx(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向______的正方向，食指指向______的正方向，如果中指指向______的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．x轴y轴z轴2．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用___________________来表示，_____________________叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作______________，其中____叫作点M的横坐标，____叫作点M的纵坐标，____叫作点M的竖坐标．有序实数组(x，y，z)有序实数组(x，y，z)M(x，y，z)xyz空间两点间的距离公式1．空间中任意一点P(x，y，z)与原点之间的距离|OP|＝________________；2．空间中任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝______________________________.x2＋y2＋z2x2－x12＋y2－y12＋z2－z12[化解疑难]1．要求坐标就必须建立空间直角坐标系．2．同一个点在不同的坐标系中的坐标也不同．3．识记一些特殊位置的点的坐标．4．画空间直角坐标系的注意事项：(1)x轴与y轴成135°角，x轴与z轴成90°角；(2)y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度应相等，x轴上的单位长度则等于y轴的一半(xOy平面适用于斜二测画法)；(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A．y轴上B．xOy平面上C．zOx平面上D．第一象限内解析：点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在zOx平面上．答案：C2．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为()A．43B．23C．42D．32解析：|AB|＝－3－12＋－3－12＋－3－12＝43.答案：A3．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．答案：(－4,1，－2)教案·课堂探究空间中点的坐标的确定自主练透型在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝14CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标．解析：建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为0，0，12.由F作FM⊥AD、FN⊥DC，由平面几何知FM＝12，FN＝12，故F点坐标为12，12，0.点G在y轴上，其横、竖坐标均为0，又|GD|＝34，故G点坐标为0，34，0.由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故|HK|＝12，|CK|＝18.所以|DK|＝78，故H点坐标为0，78，12.[归纳升华]1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．2．对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x、y、z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键.1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．解析：以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．分别设|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝4，则|CF|＝|AB|＝1，|CE|＝12|AB|＝12，所以|BE|＝|BC|－|CE|＝2－12＝32.所以点E的坐标为1，32，0，点F的坐标为(1,2,1)．空间直角坐标系中点的对称问题自主练透型在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．解析：(1)由于关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12.所以P3(6，－3，－12)．[归纳升华]解决有关对称问题时，注意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线，坐标平面为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置．空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀记忆：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反”．如关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点横、纵坐标不变，竖坐标相反．特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数.2．已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M关于x轴、y轴对称的点M3，M4.解析：由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3)．空间两点间的距离多维探究型如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．解析：由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以Ma2，a2，a2，O′a2，a2，a.因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故Na4，34a，a.根据空间两点间的距离公式，可得|MN|＝a2－a42＋a2－3a42＋a2－a2＝64a.[归纳升华]求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定.3．侧棱垂直底面的三棱柱叫直三棱柱．已知直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求MN的长．解析：如图，以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系C－xyz，因为CA＝CB＝1，AA1＝2，所以N(1,0,1)，M12，12，2.由两点间的距离公式，得MN＝1－122＋0－122＋1－22＝62.谢谢观看！