必修二直线与方程的知识点+练习

1直线与方程的知识点与练习倾斜角与斜率1.当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.则直线l的倾斜角的范围是0.2.倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tank.如果知道直线上两点1122(,),(,)PxyPxy，则有斜率公式2121yykxx.特别地是，当12xx，12yy时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当12xx，12yy时，直线与y轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合.当α=90°时，斜率k=0；当090时，斜率0k，随着α的增大，斜率k也增大；当90180时，斜率0k，随着α的增大，斜率k也增大.这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1.对于两条不重合的直线1l、2l，其斜率分别为1k、2k，有：（1）12//ll12kk；（2）12ll121kk.2.特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；….直线的点斜式方程1.点斜式：直线l过点000(,)Pxy,且斜率为k，其方程为00()yykxx.2.斜截式：直线l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为ykxb.3.点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线.若直线l过点000(,)Pxy且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00xx，或0xx.4.注意：00yykxx与00()yykxx是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)Pxy，后者才是整条直线.直线的两点式方程1.两点式：直线l经过两点111222(,),(,)PxyPxy，其方程为112121yyxxyyxx，2.截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为1xyab.3.两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.24.线段12PP中点坐标公式1212(,)22xxyy.直线的一般式方程1.一般式：0AxByC，注意A、B不同时为0.直线一般式方程0(0)AxByCB化为斜截式方程ACyxBB，表示斜率为AB，y轴上截距为CB的直线.2.与直线:0lAxByC平行的直线，可设所求方程为10AxByC；与直线0AxByC垂直的直线，可设所求方程为10BxAyC.3.已知直线12,ll的方程分别是：1111:0lAxByC（11,AB不同时为0），2222:0lAxByC（22,AB不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120llAABB；（2）1212211221//0,0llABABACAB；（3）1l与2l重合122112210,0ABABACAB；（4）1l与2l相交12210ABAB.如果2220ABC时，则11112222//ABCllABC；1l与2l重合111222ABCABC；1l与2l相交1122ABAB.两条直线的交点坐标1.一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组11122200AxByCAxByC.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2.方程111222()()0AxByCAxByC为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110AxByC与2220AxByC的交点.两点间的距离1.平面内两点111(,)Pxy，222(,)Pxy，则两点间的距离为：22121212||()()PPxxyy.特别地，当12,PP所在直线与x轴平行时，1212||||PPxx；当12,PP所在直线与y轴平行时，1212||||PPyy；点到直线的距离及两平行线距离1.点00(,)Pxy到直线:0lAxByC的距离公式为0022||AxByCdAB.32.利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0lAxByC，22:0lAxByC之间的距离公式1222||CCdAB，推导过程为：在直线2l上任取一点00(,)Pxy，则0020AxByC，即002AxByC.这时点00(,)Pxy到直线11:0lAxByC的距离为001122222||||AxByCCCdABAB练习：1．经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3)D．y＋2＝33(x－3)2．经过原点，且倾斜角是直线y＝22x＋1倾斜角2倍的直线是()A．x＝0B．y＝0C．y＝2xD．y＝22x3．欲使直线(m＋2)x－y－3＝0与直线(3m－2)x－y＋1＝0平行，则实数m的值是()A．1B．2C．3D．不存在4．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点为()A．(3,2)B．(2,3)C．(2，－3)D．(－2,3)5．若直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距是3，则m的值是()A.25B．6C．－25D．－66．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是()A.x3＋y2＝1B.x2＋y3＝1C.x3－y2＝1D.x2－y3＝17．直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距为()A．|b|B．±bC．b2D．－b28．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为()A．2x＋y－1＝0B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0D．x－2y＋7＝09．直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则a的值等于()A．－1或3B．1或3C．－3D．－110．直线3x－2y－4＝0的截距式方程是()A.3x4－y4＝1B.x13－y12＝4C.3x4＋y－2＝1D.x43＋y－2＝111．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是()A．4x＋2y＝5B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5D．x－2y＝512．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a＝()4A．－1B．1C．±1D．－32解答题1．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．2．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求BC边上的高所在直线的点斜式方程．3．已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在x轴上截距为－2；(3)在y轴上截距为3.4．求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为－32的直线方程．5练习：1．经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3)D．y＋2＝33(x－3)答案：C2．经过原点，且倾斜角是直线y＝22x＋1倾斜角2倍的直线是()A．x＝0B．y＝0C．y＝2xD．y＝22x答案：D3．欲使直线(m＋2)x－y－3＝0与直线(3m－2)x－y＋1＝0平行，则实数m的值是()A．1B．2C．3D．不存在解析：把直线化为斜截式，得出斜率，通过直线平行的条件计算．答案：B4．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点为()A．(3,2)B．(2,3)C．(2，－3)D．(－2,3)解析：直线方程改写为y－3＝k(x－2)，则过定点(2,3)．答案：B5．若直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距是3，则m的值是()A.25B．6C．－25D．－6解析：令y＝0，得(m＋2)x＝2m，将x＝3代入得m＝－6，故选D.6．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是()A.x3＋y2＝1B.x2＋y3＝1C.x3－y2＝1D.x2－y3＝1答案：B7．直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距为()A．|b|B．±bC．b2D．－b2答案：D8．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为()A．2x＋y－1＝0B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0D．x－2y＋7＝0答案：A9．直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则a的值等于()A．－1或3B．1或3C．－3D．－1解析：由题意，两直线斜率存在，由l1∥l2知1a－2＝a3≠62a，∴a＝－1答案：D610．直线3x－2y－4＝0的截距式方程是()A.3x4－y4＝1B.x13－y12＝4C.3x4＋y－2＝1D.x43＋y－2＝1答案：D11．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是()A．4x＋2y＝5B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5D．x－2y＝5解析：kAB＝1－23－1＝－12，由k·kAB＝－1得k＝2.由中点坐标公式得x＝1＋32＝2，y＝2＋12＝32，∴中点坐标为2，32.由点斜式方程得y－32＝2(x－2)，即4x－2y＝5.答案：B12．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a＝()A．－1B．1C．±1D．－32解析：由(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0化简得1－a2＝0，∴a＝±1.答案：C解答题1．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．[解析]由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2.又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距b＝－2，∴由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.2．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求BC边上的高所在直线的点斜式方程．[分析]BC边上的高与边BC垂直，由此求得BC边上的高所在直线的斜率，从而由点斜式得直线方程．[解析]设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，∴kBCkAD＝－1.∴2＋30－3kAD＝－1，解得kAD＝35.7∴BC边上的高所在直线的点斜式方程是y－0＝35(x＋5)．即y＝35x＋3.3．已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在x轴上截距为－2；(3)在y轴上截距为3.[解析]直线y＝－33x＋5的斜率k＝tanα＝－33，∴α＝150°，故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝33.(1)过点P(3，－4)，由点斜式方程得：y＋4＝33(x－3)，∴y＝33x－3－4.(2)在x轴截距为－2，即直线l过点(－2,0)，由点斜式方程得：y－0＝33(x＋2)，∴y＝33x＋233.(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y＝33x＋3.4．求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为－32的直线方程．[解析]设直线方程为y＝－32x＋b，令y＝0得x＝23b，由题意知12·|b|·|23b|＝12，∴b2＝36，∴b＝±6，∴所求直线方程为y＝－32x±6.