2.6《正态分布》课件(北师大版选修2-3)

课程目标设置主题探究导学典型例题精析知能巩固提升一、选择题（每题5分，共15分）1.(2010·三明高二检测）在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1,σ2),若X在区间（0,1)内取值的概率为0.4,则X在区间（0，2）内取值的概率是（）(A)0.6(B)0.8(C)0.4(D)0.5【解析】选B.依题意X～N（1，σ2)，由正态分布密度曲线的对称性可知P(1x2)=P(0x1)=0.4∴P(0x2)=2P(0x1)=2×0.4=0.82.如图是正态分布N(μ,),N(μ,),N(μ,)相应的曲线，则有()(A)σ1＞σ2＞σ3(B)σ3＞σ2＞σ1(C)σ1＞σ3＞σ2(D)σ2＞σ1＞σ3【解析】选A.σ反映了随机变量取值的离散程度，σ越小，波动越小，取值越集中，图像越“瘦高”.212223233.一批电池的使用时间X（单位：小时）服从正态分布N（36，42），在这批电池中任取一个“使用时间不少于40小时”的概率是（）(A)0.954(B)0.683(C)0.317(D)0.159【解题提示】利用X～N（36，42）在（32，40）上的概率及对称性求解.【解析】选D.依题意P（32x40)=0.683，由对称性P(36x40)=0.3415,∴P(x≥40)=0.5-0.3415=0.159.二、填空题（每题5分，共10分）4.（2010·哈尔滨高二检测）若随机变量X服从正态分布N(2,9)且P(Xc+1)=P(Xc-1)则c=______.【解析】依题意可知X=c+1与X=c-1应关于X=2对称∴∴c=2答案：2c+1+c-1=225.某次考试成绩X～N(μ,32),随机抽查50名学生的成绩,其平均值为73,则μ的估计值为______.【解析】N(μ,32)中的参数μ是指总体的均值,所以μ的估计值为73.答案：73三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）6.在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N（90，100).(1)试求考试成绩X位于区间（70，110）上的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名学生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？【解析】∵X～N(90,100)，∴μ=90,σ==10.(1)由于正态变量在区间（μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成绩X位于区间（70，110）内的概率就是0.954.（2）由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.由于正态变量在区间（μ-σ,μ+σ)内取值的概率是0.683,所以考试成绩X位于区间（80,100)内的概率是0.683.一共有2000名考生，所以考试成绩在（80，100）间的考生大约有2000×0.683=1366（人）.1007.已知随机变量X～N(μ,σ2),且其正态曲线在(-∞,80)上是增函数，在（80,+∞）上是减函数,且P(72≤X≤88)=0.683.(1)求参数μ,σ的值；(2)求P(64X≤72).【解题提示】先由单调性确定μ的值再由对应区间概率为0.683确定σ值.【解析】(1)易知正态曲线关于x=80对称，∴参数μ=80又∵P（72≤x≤88)=0.683结合P(μ-σxμ+σ)=0.683，可知σ=8.(2)∵P(μ-2σxμ+2σ)=P(64x96)=0.954.又∵P(x64)=P(x96)，∴P(x64)=(1-0.954)=0.023∴P(X≥64)=0.977，又∵P(X≤72)=(1-0.683)=0.159，∴P(X72)=1-0.159=0.841.∴P(64x≤72)=P(x64)-P(x72)=0.13612121.（5分）（2010·河南高二检测）已知三个正态分布密度函数的图像如图所示，则（）(A)μ1μ2=μ3,σ1=σ2σ3(B)μ1μ2=μ3,σ1=σ2σ3(C)μ1=μ2μ3,σ1σ2=σ3(D)μ1μ2=μ3,σ1=σ2σ3【解析】选D.由μ代表均值,σ2代表方差可结合正态密度函数图像易得结论.2.（5分）（2010·三明高二检测）在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布（100,36),那么考试成绩在区间（88,112）内的概率是（）(A)0.683(B)0.317(C)0.954(D)0.997【解析】选C.依题意μ=100,σ=6，而P(88x112)=P(100-2×6x100+2×6)∴P(88x112)=0.954.3.（5分）已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等,那么这个正态总体的数学期望为_______.【解析】正态总体的数据落在这两个区间的概率相等，说明在这两个区间上正态曲线与x轴所围成的面积相等,另外，因为区间(-3,-1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线的这两个区间是关于对称轴对称的,我们需要找出对称轴.由于正态曲线关于直线x=μ对称，μ的含义是期望，我们也就找到了正态分布的数学期望了.因为区间(-3,-1)和区间(3,5)关于x=1对称(-1的对称点是3,-3的对称点是5)，所以正态分布的数学期望为1.答案:14.（15分）若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体的取值在（-4，4］的概率.【解题提示】利用已知函数是偶函数确定μ的值，再由最大值确定σ值.1.42【解析】（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图像关于y轴对称，即μ=0.