数学-学年论文-毕业论文-概率论中几种分布之间的联系

概率中几种分布的有机联系摘要：用普遍联系的观点阐述了两点分布，超几何分布，二项分布，泊松分布，正态分布之间的密切联系.关键词：两点分布，超几何分布，二项分布，泊松分布，正态分布，联系两点分布，超几何分布，二项分布，泊松分布都是取非整数值的离散分布，正态分布是连续分布，从表面看来，有截然不同的表达式，但几种分布之间却有密切的联系，如简图：正态分布泊松分布二项分布两点分布超几何分布定义1：（两点分布）若随机变量的分布列如下：01P（=k）1-pp则称服从两点分布（其中设10p）.定义2：（二项分布）若随机变量的分布列如下：01┈k┈nP（=k）np)1(11)1(nnppC┈knkknppC)1(┈np则称服从二项分布（其中设10p，n为非负整数）.定义3：（超几何分布）若随机变量的分布列如下：01┈k┈P（=k）nNnMNMCCC0nNnMNMCCC11┈nNknMNkMCCC┈nNlnMNlMCCC则称服从超几何分布（其中设),,(,0,0nMMinlNMNn）.泊松分布和正态分布可有参考书给出.（一）两点分布和二项分布n次独立的两点分布，及当每次试验的基本事件只有两种A及且pp1,时称为n次贝努力概型.定理1：对于贝努里概型，事件A在n次试验中出现k次概率为knkknnqpCkP)().0(nk并且nknkP01)(.证明：有贝努里概型知，事件A在指定的k次试验中发生，而在其余n-k次实验中不发生的概率为.)1(knkknkqppp（例如“在前k次试验发生事件A而其余n-k次试验不发生事件A”的概率为knkqpqqpqpp）.由于事件A的发生可以有种排列顺序，有排列组合理论知它共有knC种，而knC种排所对应的knC个事件（即“事件A在n次试验中出现k次”这一事件）是互不相容的，按概率加法公式得到knkknnqpCkP)(，并且有1)()(00nknnkknkknnqpqpCkp.定理1说明了两点分布与二项分布的联系.（二）超几何分布的极限分布是二项分布超几何分布与二项分布有密切联系,在一定条件下后者是前者的极限分布.定理2：若设想有N个产品，其中M个废品，任意抽取n个，则其中恰有废品个数，便服从上述的超几何分布，设想产品个数N无限大，且废品率为p，即plimNMN，则n,k不变的条件下，有knkknNnMknMNkMppCCCC)1(lim.证明：事实上，由于!)!(!)!()!()!()!(!!NnNnknMNknMNkMkMCCCnNknMNkM=)1()1(1)(()()1()1()!(!!nNNNknMNMNNNNkMMMknkn,)1()1(NNNkncbaCnNNNNNN其中kNNpalim，knNNpb)1(lim，1limNNc.故得证.上述事实与我们的直观思想相吻合：在废品为确定数P的足够多的产品中，任意抽取n个（由于产品个数无限多，无返回与有返回无区别，故可看作n次独立试验）中含有k个废品的概率当然服从二项分布.在这里，超几何分布转化为二项分布的条件是（1）产品个数应无限多，否则无返回地抽取n件产品是不能看作n次独立试验的.（2）在产品个数N无限增加的过程中，废品数应按相应的“比例”增加，否则上述事实也是不成立的.（三）二项分布的极限是泊松分布在不同的条件下，可以设想会得到不同的极限分布.下面的泊松定理就是说明二项分布的泊松逼近.设有一串正数np，),,2,1(10npn我们有定理3：（泊松定理）若0limnnnp，则ekppCpnkbkknnknknnnn!)1(lim),;(lim),,,1,0(nk.证明：当1k时，knnknnppkknnnpnkb)1(!)1()1(),;(=,)1)(11()/21)(/11(!nknnnknnnknnk其中nnnp.显然;)1(lim;limennnnkknn,1)11()21)(11(limnknnn（对任意k成立）.故epnkbnn),;(lim.当k=0时，显然enpnbnnn)1(),;0(.推论：若),1,0(0nnpn，则ekppCpnkbkknnknknnnn!)1(lim),;(lim),,,1,0(nk成立.上定理及其推论说明：若nnp恒等于常数，或np足够小，n足够大（希望使得nnnplim时），则一般来说!),;(kepnkbknnn，其中nnnp),1,0(k.二项分布的泊松近似，常常被应用于研究稀有事件（即每次试验中事件出现的概率p很小），当贝努里试验的次数n很大时，事件发生的频数的分布.实际表明，在一般情况下，当p0.1时，这种近似是很好的，甚至不必n很大都可以（这点从比较二项分布与泊松分布的概率分布表可以看出）.（四）二项分布的极限分布是正态分布我们在引入正态分布时，曾经讲到有许多随机现象服从正态分布（如测量误差，射击偏差等）是由于许多彼此没有什么相依关系，对随机现象谁也不起突出影响而均匀地起到微小作用的随机因素共同作用（这些因素的叠加）的结果.如果联系于这个随机现象的随机变数为，则它可以看成为许多相互独立的起微小的因素k的总和kk，而这个总和服从或近似的服从正态分布.定义4：设.2.1(nn）为相互独立的随机变数序列，有有限的数学期望和方差：E（k）=ka，D（k）=2k（k=1.2…）.令),,2,1(),(112nBaDBnknkknnkkn若对于1Rx一致地有,21lim221dyexPxynn则称为随机序列n服从中心极限定理.定理4：（隶莫佛尔-拉普拉斯定理）设),2,1(nn为相互独立且具有相同两点分布的随机序列，且,)1(pPk)..,2,1()0(kqPk其中q=1-p，10p.则n服从中心极限定理.证明:由假设可得,)(pEk),,2,1(,)(kpqDk,)(12npqDBnkkn令,1nkkn).,2,1(,)(11nnpqnppBnnkknn依特征函数的性质,只须证当n→时n的特征函数221)(tetn即可.由于n的特征函数为njipeqtn)()(，故ntnpqjtnpqnpjpeqetn][)(1=.][nnpqqjtnpqpjpeqe应用jxe在0x的邻域的泰勒展式：),(!)(0nnkkjxxkjxe得tnpqqjtnpqpjpeqe=ntntqpqp222=.2122ntnt综上两式可得，当n时2212221tnentnttn.（五）泊松分布的极限分布是正态分布由上面的中心极限定理可推出来:定理5:是服从参数为的泊松分布的随机变量,证明:dtexPxt2221lim证明:已知的特征函数1jteet故的特征函数tiett对t有121!2titeti于是，)(2)1(02)(221tttieti从而对任意点列n有dtexPxt2221lim成立。参考文献：[1]梁之舜概率论与数理统计上册[M]北京：高等教育出版社.1994.3[2]宋秀娟概率统计问答150题[M]长沙：湖南科技出版社.1985.7[3]梁之舜等概率论及数理统计上册中山大学数学系高等教育出版社.1988.5THEASSOCIATIONOFFOURDISTRIBUTIONSINPROBABILITYAbstract:Thisarticleinterpretstheassociationabouttwopointsdistribution,binomialdistribution,hypergeometricdistribution,poissondistributionandnormaldistributionbygeneralassociation.Keywords:twopointsdistributionbinomialdistributionhypergeometricdistributionpoissondistributionnormaldistributionassociation.