1.1.2数列的函数特征-课件(北师大版必修五)

（一）1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念.(重点)2.掌握判断数列增减性的方法.(重点)3.利用数列的增减性求最大项、最小项.(难点)从数列表示的角度理解数列的函数特性数列是一种特殊函数,其定义域是正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3，…,n}),值域是当自变量顺次从小到大依次取值时的对应值.00000000(二)确定数列的增减性确定数列的增减性的方法判断数列是递增数列还是递减数列,关键是比较相邻两项an+1与an的大小,常见的比较方法有两种：一是作差比较法.(1)an+1-an0⇔an+1an⇔数列{an}是递增数列.(2)an+1-an0⇔an+1an⇔数列{an}是递减数列.(3)an+1-an=0⇔an+1=an⇔数列{an}是常数列.二是作商比较法，若数列的通项公式为根式形式,用作商法比作差法更简便一些.an＞0递增数列递减数列常数列an＜0递减数列递增数列常数列n1na1a＞n1na01a＜＜n1na1a在利用作商比较法时，要确保数列的每一项都不是零，再确认相邻两项的正负，然后进行比较.【例1】已知数列{an}的通项公式为an=-8n，判断数列{an}的单调性.【审题指导】解决本题的关键是正确采取比较的方式，比较an+1与an的大小，也可用函数的观点判断.【规范解答】方法一：根据题意可知则an+1-an=(n+1)2-8(n+1)-(n2-8n)由数列的定义域为正整数集可知，当0n8时，an+1-an0，数列是递减数列；当n≥8时，an+1-an0，数列是递增数列.2n1an8n2，121215n2，21n2方法二：由于本题数列的通项公式为an=n2-8n对应的函数是f(x)=x2-8x，定义域为正整数集，根据函数的单调性可知：对称轴是x=8，所以当0n8时数列是递减数列；当n≥8时，数列是递增数列.1212【误区警示】在利用函数的单调性判断数列的单调性时，一定要注意函数与数列的区别是数列的定义域为正整数集，然后根据函数的对称轴和单调性进行判断.例2已知数列{}满足条件：，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式。由递推公式求通项公式na)12(,011naaann思路点拨：依次带入n=1,2,3,4,5即可求数列的最大项和最小项方法：数列的项与项数之间构成特殊的函数关系.因此，涉及数列性质如单调性、最值问题等均可仿照求函数单调性、最值问题的方法来研究，求数列的最大项和最小项的方法有两种：数列的单调性的应用方法一：利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大项或最小项.方法二：设an是最大项,则有对任意n∈N+且n≥2均成立,解不等式组即可.nn1nn1aaaa，在用函数的有关知识解决数列问题时，特别是比较大小时，一定要注意到函数的定义域为正整数集这一约束条件.【例3】在数列{an}中，an＝(n＋1)()n(n∈N+).(1)试判断：{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由。【思路点拨】可考虑数列的单调性，用单调性求出数列的最大项；也可以通过前后项的对比得出最大项。1011【例】已知an=(n∈N+),则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是()(A)a1,a50(B)a50,a1(C)a21,a20(D)a20,a21【审题指导】根据题意，对数列的通项公式进行化简，利用对应的函数的单调性画出简图，求出函数的最值，从而求得数列的最小项和最大项.n401n402【规范解答】选C.方法一：通项公式是关于n的假分式，也是反比例函数，因此可以考虑转化为带分式，因此可以根据分母的单调性判断{an}的单调性，再根据单调性判断最大、最小项.当1≤n≤20时，n-单调递增且n-＜0,∴{an}递减，∴a1最大，a20最小；当21≤n≤50时，n-单调递增且n-＞0,∴{an}递减，∴a21最大，a50最小.a21＞1＞a1,a20＜1＜a50,故选C.n402401a1n402，n402401a1n402，402402402402方法二：注意到方法一中，对应于函数作出这个函数大致的图像(如图).当x∈N+,x∈［1,50］时，f(20)最小，f(21)最大，即a21最大，a20最小.故选C.n402401a1n402，402401y1x402，【典例】(12分)一个数列的通项公式为an＝30＋n－n2.(1)问－60是否为这个数列中的项？(2)当n分别为何值时，an＝0，an0，an0；(3)当n为何值时，an有最大值，并求出最大值.【审题指导】本题的解决关键是用函数的观点思考解决数列问题，三问逐步深入递进，首先第一问判断是否是数列的项，代入验证判断求出的n是否为正整数即可，第二问和第三问，结合二次函数进行判断求解.【规范解答】(1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0，∴n＝10或n＝－9(舍)，…………………………………2分∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60.…………4分(2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0.∴n＝6或n＝－5(舍)，即当n＝6时，an＝0.…………6分结合数列{an}的图像可知当n等于1,2,3,4,5时，an0.当n6且n∈N+时，an0.…………………………………8分(3)an＝30＋n－n2＝又∵n∈N+，故当n＝1时，an有最大值，其最大值为30.…………12分21121(n)24－－＋，【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：常见错误错误原因第二问n=-5解出了n的值后，没有考虑n的定义域，直接下结论导致错误，事实上，解决这类问题需要特别注意n的取值范围.第三问n=在利用二次函数的性质进行配方求解数列的最值时，忽略了n只能取正整数这一问题，导致错误，一般地借助函数解决数列问题时，都需要认真考虑定义域.121.已知an＋1＝an－3，则数列{an}是()(A)递增数列(B)递减数列(C)常数列(D)摆动数列【解析】选B.∵an＋1－an＝－30，由递减数列的定义知B选项正确.故选B.2.一次函数f(x)=kx+5，若数列{an}的通项公式为an=f(n)是一个递增数列，则k的值()(A)k0(B)k0(C)k=0(D)不能确定【解析】选B.由于数列是递增数列，则对应的函数是递增函数，所以k0.3.{an}中，an＝n2－9n－100，则最小的项是()(A)第4项(B)第5项(C)第6项(D)第4项或第5项【解析】选D.∵an＝∴n＝4或5时，an最小，故选D.2981(n)10024－－－，4.数列{an}中，an=-3n2+30n,则此数列中最大的项的值是_______.【解析】an=-3n2+30n,可知an=-3(n-5)2+75,当n=5时，a5最大，其值为75.故最大项的值为a5=75.答案：755.数列{an}的通项公式为，试判断该数列是递减数列还是递增数列.【解析】根据题意可知，则an+1-an=，所以an+1an，即数列{an}是递减数列.n1an(n1)n1an(n1)1120nn1nn1nn1n1