2014年高考数学(文)难题训练(3)三角函数及三角恒等变换

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【冲击高分系列】2014年高考数学(文)难题专项训练:三角函数及三角恒等变换1.(2013湖北黄冈市高三三月质量检测,10,5分)已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心,且若则()A.B.C.D.不能确定2.(2013吉林省吉林市普通高中高三一月期末,12,5分)设函数的定义域为D,若存在非零实数使得对于任意,有,且,则称为M上的高调函数.现给出下列命题:①函数为R上的1高调函数;②函数为R上的高调函数;③如果定义域为的函数为上高调函数,那么实数的取值范围是;④函数为上的2高调函数.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.33.(2013吉林省吉林市普通高中高三一月期末,11,5分)已知是定义在上的奇函数,当时的图像如图,那么不等式的解集是()A.B.C.D.4.(2012山东省规范化学校高三11月月考,12,5分)在中,角所对的边分别为且,,若,则的取值范围是()A.B.C.D.5.(2012山东省规范化学校高三11月月考,11,5分)复数()在坐标平面中对应的点分别是,若函数(为坐标原点),则下列命题正确的是()A.最大值为2B.的图像向左平移个单位后对应的函数是奇函数C.的周期为D.的图像向左平移后对应函数图像关于对称6.(2012湖北省黄冈中学高三11月月考,8,5分)给出下列的四个式子:①,②,③,④;已知其中至少有两个式子的值与的值相等,则()A.B.C.D.7.(2012北京海淀区高三11月月考,8,5分)已知集合,若对于任意,存在,使得成立,则称集合是“好集合”.给出下列4个集合:①②③④其中所有“好集合”的序号是A.①②④B.②③C.③④D.①③④8.(2012江西省临川一中、师大附中联考,9,5分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且=(b-c,cosC),=(a,cosA),,则cosA的值等于()9.(2012浙江绍兴一中高三十月月考,10,3分)已知函数(为常数,且),对于定义域内的任意两个实数、,恒有成立,则正整数可以取的值有()A.4个B.5个C.6个D.7个10.(2012浙江绍兴一中高三十月月考,9,3分)直线与函数的图像相切于点,且,为坐标原点,为图像的极大值点,与轴交于点,过切点作轴的垂线,垂足为,则()A.B.C.D.211.(2012河南省毕业班模拟,10,5分)函数(ω>0),在区间[a,b]上是增函数,且,则函数在[a,b]上()A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值MD.可以取得最小值-M12.(2012江西省南昌市第二次模拟,10,5分)下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程:区间中的实数x对应轴上的点M(如图1):将线段AB围成一个圆,使两端点A、B恰好重合(从A到B是逆时针,如图2):再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在x轴上,点A的坐标为(1,0)(如图3),图3中直线OM的斜率为k,则x的象就是k,记作有下列判断:是奇函数;是存在3个极值点的函数;的值域是;是区间上的增函数.其中正确的是()A、(1)(2)B、(1)(3)C、(2)(3)D、(1)(4)13.(2012天津十二区县联考,7,5分)设.若当时,恒成立,则实数M的取值范围是()A.B.C.D.14.函数f(x)=(0≤x≤2π)的值域是()A.B.[-1,0]C.[-,0]D.[-,0]15.如图,l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l2与l3间的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上,则△ABC的边长是()A.2B.C.D.16.(2013北京海淀区高三三月模拟题,14,5分)已知函数,任取,定义集合:,点,满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值,记.则(1)函数的最大值是_____;(2)函数的单调递增区间为________.17.(2013福建厦门高三一月质量检查,14,5分)已知函数,下列命题正确的是.(写出所有正确命题的序号)①是奇函数;②对定义域内任意x,1恒成立;③当时,取得极小值;④;⑤当x0时,若方程||=k有且仅有两个不同的实数解,则.18.(2012浙江绍兴一中高三十月月考,17,3分)在平面直角坐标系中,定义为两点,之间的“折线距离”.则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是____;圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是___.19.(2012山西大学附中高三十月月考,16,5分)给出以下四个命题:①已知命题;命题则命题是真命题;②过点且在轴和轴上的截距相等的直线方程是;③函数在定义域内有且只有一个零点;④若直线和直线垂直,则角其中正确命题的序号为______.(把你认为正确的命题序号都填上)20.(2012江西省联考,14,5分)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数的图象恰好通过个格点,则称函数为阶格点函数,下列函数:①;②;③;④;其中是一阶格点函数的有_______.21.(2012北京东城区高三模拟,13,5分)已知函数的最大值为M,最小值为m,则M+m的值_______.22.(2012东北三省四市第一次联考,15,5分)在△中,角的对边分别为,已知,且,则△的面积的最大值为________.23.(2012黑龙江高三模拟,16,5分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且acosB-bcosA=c,当tan(A-B)取最大值时,角C的值为.24.(2012山东,16,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为.25.(2008江苏,13,5分)满足条件AB=2,AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是.26.(2010课标全国,16,5分)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-,则∠BAC=.27.(2011课标,16,5分)在△ABC中,B=60°,AC=,则AB+2BC的最大值为.28.(2008辽宁,16,4分)已知f(x)=sin(ω0),f=f,且f(x)在区间内有最小值,无最大值,则ω=.29.(2012山东省规范化学校高三11月月考,21,12分)在中角的对边分别为且,(1)判断的形状;(2)求sinA+sinB的取值范围;(3)若,试确定的取值范围.30.(2012湖北省黄冈中学高三11月月考,21,14分)已知函数在上为增函数,且,,.(1)求的值;(2)当时,求函数的单调区间和极值;(3)若在上至少存在一个,使得成立,求的取值范围.31.(2012浙江绍兴一中高三十月月考,21,10分)已知集合M是满足下列性质的函数的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有成立.(Ⅰ)函数是否属于集合M?说明理由;(Ⅱ)设函数且a≠1)的图像与的图像有公共点,证明:;(Ⅲ)若函数,求实数k的值.32.(2012江西省联考,21,14分)设函数数列满足,.(1)证明:函数在是增函数;(2)求证:(3)若,求证:33.(2012福建省毕业班质量检测,20,14分)设函数的图象是由函数的图象经下列两个步骤变换得到:(1)将函数的图象向右平移个单位,并将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象;(2)将函数的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍(横坐标不变),并将图象向上平移1个单位,得到函数的图象.(Ⅰ)求的表达式;(Ⅱ)判断方程的实根的个数,证明你的结论;(Ⅲ)设数列满足,试探究数列的单调性,并加以证明.34.(2012安徽合肥高三第二次检测,21,13分)已知的三边长动点满足且.(1)求最小值,并指出此时与的夹角;(2)是否存在两定点使恒为常数?若存在,指出常数的值,若不存在,说明理由.35.(2012河南高三第二次联考,21,12分)已知函数f(x)=ax,g(x)=lnx,其中a∈R.(Ⅰ)若函数F(x)=f(x)-g(x)有极值1,求a的值;(Ⅱ)若函数G(x)=f[sin(1-x)]+g(x)在区间(0,1)上为增函数,求a的取值范围;(Ⅲ)证明:sinLNspan2.36.在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sinθ=,0°θ90°)且与点A相距10海里的位置C.(Ⅰ)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(Ⅱ)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.37.设函数f(x)=.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)如果对任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范围.答案1.A2.D3.B4.A5.D6.A7.B8.C9.B10.B11.C12.B13.D14.B15.D16.17.②④⑤①中,函数的定义域是,且,所以函数是偶函数,所以①不正确;②中,设,则,所以函数是增函数,所以,所以,所以当时,,即,又函数是偶函数,所以当时,,所以,综上所得,对定义域内任意x,1恒成立,所以②正确;③中,由于,所以,所以不是的极值点,所以③不正确;④中,当时,,所以恒成立,所以函数在区间上是减函数,又,所以,所以④正确;⑤中,当时,,所以关于的方程即有且仅有两个不同的实数解,在同一坐标系中画出函数和函数的图象,如图所示,则这两个图象仅有两个交点,且右边的交点是直线与函数的图象相切的切点,所以是切点,并且切线斜率,所以切线方程是,又点在切线上,所以,即,所以⑤正确.18.,19.①③20.③④21.222.23.24.(2-sin2,1-cos2)25.226.60°27.228.29.(1)∵,∴,----1分由正弦定理,得,∴,∴,----------2分又,∴,∴,∴即,∴,------------3分∴△ABC是直角三角形.------------------------------4分(2)由(1)知,∴=,---6分又,即的取值范围是.---------------------------8分(3)∵,∴,由正弦定理,得,-------------9分设=,则,∴,------------------------------------------10分∴,,设,,则恒成立,∴在上是减函数,∴的值域是,即,∴的取值范围为.----------------------------------12分30.(1),又函数在上为增函数,∴,即恒成立,∵,∴,∴在上恒成立,即在上恒成立,又在的最大值是1,∴,又,∴仅有.……………………4分(2)∵,∴,,∴,令,解得,令,解得;令,解得.∴函数的单调递增区间是,单调递减区间为.当变化时,、的变化情况如下表:+0极大值由表知函数的极大值,不存在极小值.……………………9分(3)由(1)知,则,.令,,当时,,∵,∴,,∴恒有,∴此时不存在使得,即此时不存在使得成立;当时,,又,∴,,∴在上恒成立,∴在上是增函数,∴,又在上至少存在一个,使得成立,即恒成立,∴必有,∴,解得,综上所得,的取值范围为.……………………14分31.(Ⅰ)当时,对于非零常数T,,,又对任意x∈R,不恒成立,∴函数M.------(2分)(Ⅱ)由题意得方程组有解,消去得,显然x=0不是方程的解,∴存在非零常数T,使.∴,∴.------(5分)(Ⅲ)当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0∈M.当k≠0时,∵f(x)=sinkx∈M,∴存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立,即sin(kx+kT)=Tsinkx恒成立.又k≠0,x∈R,∴kx∈R,(kx+kT)∈R,∴sinkx∈[-1,1],sin(kx+kT)∈[-1,1],∴Tsinkx∈[-T,T],∴T=,当T=1时,sin(kx+k)=sinkx恒成立,则k=2mπ,m∈Z.当T=

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