(MBA课程)管理运筹学第四章线性规划在工商管理中的应用

1第四章、线性规划在工商管理中的应用通过线性规划的图解法，我们对线性规划的求解及灵敏度分析的基本概念、基本原理已有所了解，又通过线性规划问题的计算机求解的学习，我们掌握了用计算机软件这一有用工具去求解线性规划问题及其灵敏度分析。在这一章我们来研究线性规划在工商管理中的应用，解决工商管理中的实际问题。广西大学王中昭制作2§4.1、人力资源分配的问题§4.2、生产计划的问题§4.3、套裁下料问题§4.4、配料问题§4.5、投资问题主要内容广西大学王中昭制作3某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?班次时间所需人数16:00-10:0060210:00-14:0070314:00-18:0060418:00-22:0050522:00-2:002062:00-6:0030例1§4.1、人力资源分配的问题广西大学王中昭制作4解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数，可以知道在第i班工作的人数应包括第i-1班次时开始上班的人员数和第i班次时开始上班的人员数，例如有x1+x2≥70。又要求这六个班次时开始上班的所有人员最少，即要求x1+x2+x3+x4+x5+x6最小，这样我们建立如下的数学模型。目标函数：minx1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件：x1+x6≥60，x1+x2≥70，x2+x3≥60，x3+x4≥50，x4+x5≥20，x5+x6≥30，x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0广西大学王中昭制作5用“管理运筹学”软件可以求得此问题的解：x1=50，x2=20，x3=50，x4=0，x5=20，x6=10，24小时内一共需要司机和乘务人员150人。此问题的解不唯一，用LINDO软件计算得到：X1=60,X2=10,X3=50,X4=0,X5=30,X6=0目标函数值=150广西大学王中昭制作6福安商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析如下所示：星期一：15人；星期二：24人；星期三：25人；星期四：19人；星期五：31人；星期六：28人；星期日：28人。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该如何安排售货人员的作息，既满足了工作需要，又使配备的售货人员的人数最少?解：设x1为星期一开始休息的人数，x2为星期二开始休息的人数，…，x7为星期日开始休息的人数。目标是要求售货人员的总数最少。因为每个售货员都工作五天，休息两天，所以只要计算出连续休息两天的售货员人数，也就计算出了售货员的总数。把连续休息两天的售货员按照开始休息的时间分成7类，各类的人数分别为X1，X2，…X7，即有目标函数:minX1+X2+X3+X4+X5+X6+X7例2广西大学王中昭制作7模型：再按照每天所需售货员的人数写出约束条件，例如星期日需要28人，我们知道商场中的全体售货员中除了星期六开始休息和星期日开始休息的人外都应该上班，即有x1+x2+x3+x4+x5≥28，0,,,,,,x28x31x19x25x24x15x28x:minx:7654321743217632176521765417654365432543217654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx约束条件目标函数喂！请问数学模型？广西大学王中昭制作8上机求解得：x1=12,x2=0,x3=11,x4=5,x5=0,x6=8,x7=0,目标函数最小值=36.也就是说配备36个售货员，并安排12人休息星期一、二；安排11人休息星期三、四；安排5人休息星期四、五；安排8人休息星期六、日。这样的安排既满足了工作需要，又使配备的售货员最少。软件对此问题的解如下：目标函数最优值为：36变量最优解相差值x1120x200.333x3110x450x500x680x700广西大学王中昭制作9约束松驰/剩余变量对偶价格10-0.33329030-0.33340-0.33351060-0.333700由于所有约束条件的对偶价格都小于或等于0，故增加约束条件的常数项都不会使目标值变小。即增加售货员是不利的。但对于约束1、3、4、6来讲，减少一售货员会使目标函数值变小，是有利的。广西大学王中昭制作10目标函数系数范围：变量下限当前值上限X1011.5X20.6671无上限X3011.5X4111X511无上限X6011X7111.333安排星期二开始休息和星期五开始休息的人员可以无限制，此时最优解仍然不变。广西大学王中昭制作11常数项范围：约束下限当前值上限11928282无下限152431524424102541.55无下限19206163138.57282836广西大学王中昭制作12法二：设x1为星期一开始上班的人数，x2为星期二开始上班的人数，…，x7为星期日开始上班的人数。目标是要求售货人员的总数最少。(P40-2a.ltx)目标函数:minX1+X2+X3+X4+X5+X6+X7约束条件：星期日X3+X4+X5+X6+X7≥28星期一X1+X4+X5+X6+X7≥15星期二X1+X2+X5+X6+X7≥24星期三X1+X2+X3+X6+X7≥25星期四X1+X2+X3+X4+X7≥19星期五X1+X2+X3+X4+X5≥31星期六X2+X3+X4+X5+X6≥28解:函数值=36,X1=3,x2=5,x3=12,X4=0,x5=11,x6=0X7=5,则周1休息人数为周3上班的+周2上班的=12+5=17,与法一是一样的周1开始休息仍为17-5=12人广西大学王中昭制作13．明兴公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。有关情况见表4—3；公司中可利用的总工时为：铸造8000小时，机加工12000小时和装配10000小时。公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件?甲、乙两种产品的铸造应多少由本公司铸造?应多少由外包协作？例3§4.2、生产计划的问题广西大学王中昭制作14表4-3解：设x1、x2、x3分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，设x4、x5分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。计算每件产品的利润分别如下：工时与成本甲乙丙每件铸造工时(小时)5107每件机加工工时(小时)648每件装配工时（小时)322自产铸件每件成本(元)354外协铸件每件成本(元)56机加工每件成本(元)213装配每件成本(元)322每件产品售价(元)231816广西大学王中昭制作15产品甲全部自制的利润=23-(3+2+3)=15(元)产品甲铸造外协，其余自制的利润=23-(5+2+3)=13(元)产品乙全部自制的利润=18-(5+1+2)=10(元)产品乙铸造外协，其余自制的利润=18-(6+1+2)=9(元)产品丙的利润=16-(4+3+2)=7(元)工时与成本甲乙丙每件铸造工时(小时)5107每件机加工工时(小时)648每件装配工时（小时)322自产铸件每件成本(元)354外协铸件每件成本(元)56机加工每件成本(元)213装配每件成本(元)322每件产品售价(元)231816广西大学王中昭制作16建立数学模型如下：目标函数：max15X1+10X2+7X3+13X4+9X5约束条件：5X1+10X2+7X3≤8000(这里没包括外协铸造时间)，6X1+4X2+8X3+6X4+4X5≤12000(机加工)，3X1+2X2+2X3+3X4+2X5≤10000(装配)，X1，X2，X3，X4，X5≥0用“管理运筹学”软件进行计算，计算机计算结果显示在图4-1中。详见上机计算……。工时与成本甲乙丙每件铸造工时(小时)5107每件机加工工时(小时)648每件装配工时（小时)322广西大学王中昭制作17目标函数最优值为：29400变量最优解相差值x116000x202x3013.1x400.5x56000结果分析：最大的利润为29400元，其最优的生产计划为全部由自己生产的甲产品1600件，铸造外协、其余自制生产乙产品600件，而丙产品不生产。从相差值一栏中可知，如果全部由自己生产的乙产品的利润再增加2元达到每件12元利润，那么全部自制的乙产品才有可能上马生产，否则乙产品还是铸造外协、其余自制的利润更大。同样丙产品的利润要再增加13.1元达到每件利润20.1元，丙产品才有可能上马生产；铸造外协、其余自制的甲产品利润再增加0.5元达到13.5元，才有可能上马生产。广西大学王中昭制作18约束松驰/剩余变量对偶价格100.3202.25340000从对偶价格栏可知铸造每工时的对偶价格为0.3元，机加工每工时的对偶价格为2.25元，装配每工时的对偶价格为零元。这样如果有人以低于铸造和机加工的对偶价格来提供铸造及机加工的工时则可以购入来获取差价（例如外协铸造工时价格低于0.3元，则外协铸造合算)。同样如果有人要购买该公司的铸造与机加工的工时，则出价必须扣除成本外，还必须高于其对偶价格，否则就不宜出售。至于装配每工时的对偶价格为零，这是由于在此生产计划下还有4000个装配工时没有完。注意:从计算中可知,如果把松驰或者剩余变量看作变量时引入模型时，对偶价格实际上是松驰或者剩余变量的相差值的绝对值。广西大学王中昭制作19对偶价格不是市场价格，在作市场决策时，某种资源市场价格低于对偶价格时，可适量买进这种资源，组织和增加生产。相反当市场价格高于对偶价格时，可以卖出资源而不安排生产或提高产品的价格。注意啊！广西大学王中昭制作20目标函数系数范围：变量下限当前值上限X11415无上限X2无下限1012X3无下限720.1X4无下限1313.5X58.667910从目标函数决策变量系数一栏中知道，当全部自己生产的每件甲产品的利润在14到+∞内变化时，其最优解不变；全部自己生产的每件乙产品的利润只要不超过12元，则其最优解不变；当每件丙产品的利润不超过20.1元时，则其最优解不变；当铸造外协其余自制的每件甲产品的利润不超过13.5元时，其最优解不变；当铸造外协，其余自制的每件乙产品的利润在8.667到10元内变化时，则其最优解不变。在这里当某产品利润变化时都假设其余产品的利润是不变的。广西大学王中昭制作21常数项范围约束下限当前值上限108000100002960012000200003600010000无上限从约束条件右边常数变化范围栏可知，当铸造工时在0到10000小时间变化时其对偶价格都为0.3元；当机加工工时在9600到20000小时内变化时，其对偶价格都为2.25元；当装配工时在6000到+∞内变化时，其对偶价格都为零。也就是说当常数项超出上面的范围时其对偶价格可能已变，这时某种资源的市场价格与对偶价格的关系随之发生变化。广西大学王中昭制作22永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品。每种产品均要经过A、B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以A1、A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1，B2，B3表示。产品Ⅰ可在A、B的任何规格的设备上加工。产品Ⅱ可在任何一种规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工。产品Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。已知在各种设备上加工的单件工时、原料单价、产品销售单价、各种设备的有效台时以及满负荷操作时的设备费用如表4—4示，要求制定最优的产品加工方案，使该厂利润最大。例4广西大学王中昭制作23表4-4设备产品单件工时设备的有效台时满负荷时的设备费用ⅠⅡⅢA15106000300A2791210000321B1684000250B24117000783B374000200原料单价(元／件)