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第一节角的概念与任意角的三角函数1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、______和______．(2)从终边位置来看，可分为____________与轴线角．(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为_________________________．负角零角象限角β＝2kπ＋α(k∈Z)2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角长度等于_________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(2)角α的弧度数如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝______．半径长lr(3)角度与弧度的换算①1°＝______rad；②1rad＝________．π180(180π)°(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝______，扇形的面积为S＝_________＝________．rα12lr12r2α(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在__________上，余弦线的起点都是_______，正切线的起点都是(1，0)．,3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝____，cosα＝____，tanα＝__________．yxx轴原点yx1．“角α为锐角”是“角α为第一象限角”的什么条件？【提示】充分不必要条件．2．终边在直线y＝x上的角的正弦值相等吗？【提示】当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等．1．(人教A版教材习题改编)已知锐角α终边上一点A的坐标是(2sinπ3，2cosπ3)，则α弧度数是()A．2B.π3C.π6D.2π3【解析】点A的坐标为(3，1)．∴sinα＝1（3）2＋1＝12，又α为锐角，∴α＝π6.【答案】C2．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sinxB．y＝lnxxC．y＝xexD．y＝sinxx【答案】D【解析】函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sinx≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x0，故B不对；选项C中，x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.3．若sinα＜0且tanα＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】由sinα＜0，得α在第三、四象限或y轴非正半轴上，又tanα＞0，∴α在第三象限．【答案】C4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________．【解析】由三角函数的定义，sinθ＝y16＋y2又sinθ＝－255＜0，∴y＜0且y16＋y2＝－255，解之得y＝－8.【答案】－8(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；【思路点拨】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．【尝试解答】当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}，当角的终边在第三象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}，故所求角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}＝{α|α＝kπ＋π3，k∈Z}．1．若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α＜2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．2．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．若角θ的终边与π3角的终边相同，则在[0，2π)内终边与角θ3的终边相同的角为________．【解析】∵θ＝π3＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝π9＋23kπ(k∈Z)，当k＝0，1，2时，θ3＝π9，7π9，13π9.【答案】π9，7π9，13π9已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．【思路点拨】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α；(3)利用S弓＝S扇－S△，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积．【尝试解答】(1)l＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得：l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2rad.(3)设弓形面积为S弓．由题知l＝2π3cm，S弓＝S扇－S△＝12×2π3×2－12×22×sinπ3＝(2π3－3)(cm2)．1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．2．本题把求扇形面积最大值的问题，转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，这是解决此类问题的常用方法．3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解】(1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10，∴△AOB为等边三角形．因此弦AB所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l＝α·R＝π3×10＝103π，S扇形＝12R·l＝12α·R2＝50π3.又S△AOB＝12·OA·OB·sinπ3＝253.∴弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝50(π3－32).【思路点拨】(1)求出点P到原点O的距离，根据三角函数的定义求解．(1)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－45，则m等于()A．－114B.114C．－4D．4(2)已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．(2)在直线上设一点P(4t，－3t)，求出点P到原点O的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P可在不同的象限内，所以需分类讨论．【尝试解答】(1)点P到原点O距离|OP|＝m2＋9，∴cosα＝mm2＋9＝－45，∴m2＝16m＜0，∴m＝－4.【答案】C(2)在直线3x＋4y＝0上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，∴r＝|PO|＝x2＋y2＝（4t）2＋（－3t）2＝5|t|，当t＞0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34；当t＜0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，当t＞0时，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.当t＜0时，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，5)，且cosα＝24x，求4sinα－3tanα的值．【解】∵r＝x2＋5，∴cosα＝xx2＋5，从而24x＝xx2＋5，解得x＝0或x＝±3.∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－3.则r＝22，∴sinα＝522＝104，tanα＝5－3＝－153.故4sinα－3tanα＝10＋15.三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．2．利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧．1.第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．从近两年高考看，三角函数的有关概念以客观题形式考查，一般是容易题，命题内容主要以三角函数的定义为载体考查求值与化简，预计2014年高考仍会以三角函数定义为载体，渗透相关知识命题，考查分析问题的能力．创新探究之三以三角函数定义为载体的创新题(2013·潮州模拟)如图3－1－1所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()【解析】∵P0(2，－2)，∴∠P0Ox＝π4.按逆时针转时间t后，得∠POP0＝t，∠POx＝t－π4.由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin(t－π4)，因此d＝2|sin(t－π4)|.【答案】C当点P在P0处时，t＝0，d＝2，排除A、D；当t＝π4时，点P在x轴上，此时d＝0，排除B.创新点拨：(1)本题以三角函数定义为背景，考查三角函数的图象与性质，并渗透物理学相关知识，命题角度新颖；(2)考查阅读、提取信息和数学建模的能力，考查思维的灵活性，以及识图、用图的能力．应对措施：(1)结合圆周运动，准确理解题意，根据三角函数定义，表示出d＝2|sin(t－π4)|是关键．(2)涉及函数图象判定问题，结合函数的性质、特殊化思想是快捷求解的有效途径．1．(2013·中山质检)已知角α的终边上一点的坐标为(32，－12)，则角α的最小正值为()A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6【解析】由题意知tanα＝－33且α是第四象限角，∴α的最小正值为116π.【答案】D2．(2013·深圳模拟)已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵点P(tanα，cosα)在第三象限，∴tanα＜0，且cosα＜0，由tanα＜0，知α的终边在第二或第四象限，由cosα＜0，知α的终边在第二或第三象限，或x轴的非正半轴上，因此角α的终边在第二象限．【答案】B课后作业（十八）