勾股定理的九种证明方法附图

.勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。三、相似三角形的证法：4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三A角形相似。如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥AB，垂足为D。则△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。2由△BCD∽△BAC可得BC=BD×BA，①D2=AD×AB。ACBACCAD由△∽△可得②BC1/5.我们发现，把①、②两式相加可得AD+BB）+A=AAD+BD=A=A因此B+A，这就=+。这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识四、古人的证法如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，，以，他肯令出入相补，各从其为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配勾股各自乘，并之为弦实，开方了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，之，即弦为简明、直观五、项明达证法b作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别a、把它们拼成如图所示的多边形，使E再做一个边长为c的正方形.斜边长为c..C三点在一条直线上A、P.于点BC，交ACQP过点Q作∥；再过点PQ，垂足为M过点B作BM⊥N.，垂足为⊥PQF作FNBC，BCA=90°，QP∥∠∵MPC=90°，∴∠，BM⊥PQ∵，∠BMP=90°∴.是一个矩形，即∠MBC=90°∴BCPMQBA=90°∠，QBM+∵∠∠MBA=MBC=90°MBA=ABC+∠∠∠，2/5.∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2六、欧几里德射影定理证法：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC，（3）（BC）^2;=CD·AC。由公式（2）+（3）得：（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=（AC）^2;，即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2七、杨作玫证法：做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD=90o，∠PAC=90o，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90o，∠BCA=90o，DGaAD=AB=c，c.ΔBCA≌ΔDHARt∴Rt12b9.，AH=AC=b∴DH=BC=acPBCA是一个矩形，由作法可知，AFPRH8即PB=ΔBCA.APB所以RtΔ≌Rt.PH=b―aCA=b，AP=a，从而T5463BCA,ΔRtDGT≌∵RtΔbcc.BCARtΔRtΔDHA≌Q.DHARtΔRtΔDGT≌∴7aCBEHDA.DH=DG=a，∠GDT=∠∴o，o，∠DHF=90又∵∠DGT=90o，∠TDH=90∠TDH=∠HDA+∠GDH=∠GDT+.DGFH是一个边长为a的正方形∴.―a，TF=GT―GF=b∴GF=FH=a.TF⊥AF.―a）FP=a+a，下底BP=b，高（b是一个直角梯形，∴TFPB上底TF=b―为边长的正方形的面积为用数字表示面积的编号（如图），则以c2SSSScS①54123112aaaSSSbbbabb48322=，∵3/5.SSS，98512abSbSS2SbS8342∴②=.81把②代入①，得22SSSSSbcS9182812bSS22ab.==92222abc.∴八、陈杰证法：设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（ba），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.B在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC，.AD=c则c，∵EM=EH+HM=b+a,ED=a5c4abb.a=b―ED=―∴DM=EMFA，CMD=90o，CM=a又∵∠aCGAE=b，∠AED=90o，23cb.ΔDMCΔAED≌Rt∴Rtaac17.DC=AD=c∠EAD=∠MDC，∴6o，∠ADC+∠MDC=180∵∠ADE+aEDbMHADE+∠EAD=90o，∠ADE+∠MDC=∠.∠oADC=90∴.的正方形是一个边长为c∥DC，CB∥DA，则ABCD∴作ABo，∠FAD=90BAF+∠FAD=∠DAE+∵∠.∠DAE∴∠BAF=ADE中，连结FB，在ΔABF和ΔDAE，AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠∵.ADEABF∴Δ≌Δ.BF=DE=a∠AFB=∠AED=90o，∴.在一条直线上F、G、H∴点B、RtABF和ΔBCG中，在RtΔAB=BC=c，BF=CG=a，∵.RtΔBCGABF∴RtΔ≌222SSSaSSbSScSS∵，，，671232345SSSSS，7651422SSSabSS∴63127SSSSS=72631SSSS=53242c=4/5.baba222bcaA.∴DAD九、辛卜松证法aaaabccabaaa2的正a+.作边长设直角三角形两直角边的长分别为a，斜边的长aCbBBbABCD则正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，方形.把正方形ABCD222ab2baab划分成上方右图所示的几个的面积为；把正方形ABCD122cbaab42c2ab2.ABCD的面积为=部分，则正方形222c2abba2ab,∴222abc.∴5/5