高考二轮复习三角函数专题第2讲.ppt

第2讲三角变换与解三角形【高考真题感悟】(2011·山东)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长．解(1)由正弦定理，可设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则2c－ab＝2ksinC－ksinAksinB＝2sinC－sinAsinB，所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA．因此sinCsinA＝2.(2)由sinCsinA＝2，得c＝2a.由余弦定理及cosB＝14，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.考题分析本题考查了正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识．考查了考生的运算能力，以及运用知识综合分析、解决问题的能力．题目典型常规、难度适中．易错提醒(1)注意化归思想的应用、即将题中的条件都转化为角的关系或都转化为边的关系．(2)不能正确进行三角恒等变换．(3)易忽略隐含条件：三角形内角和为π.主干知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．4．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.6．面积公式S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．热点分类突破题型一三角变换及求值例1(1)已知0βπ2απ，且cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．思维启迪(1)(α－β2)－(α2－β)＝α＋β2；(2)α＝(α－β)＋β，2α－β＝α＋(α－β)．解(1)∵0βπ2απ，∴－π4α2－βπ2，π4α－β2π，∴cos(α2－β)＝1－sin2(α2－β)＝53，sin(α－β2)＝1－cos2(α－β2)＝459，∴cosα＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β)＝(－19)×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tanβ1－tan(α－β)tanβ＝12－171＋12×17＝13，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan(α－β)1－tanαtan(α－β)＝13＋121－13×12＝1.∵tanα＝130，∴0απ2，∴02απ.又tan2α＝2tanα1－tan2α＝340，∴02απ2.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，∴－π2α－β0.∴2α－β＝－3π4.探究提高(1)注意角的变换，(α－β2)－(α2－β)＝α＋β2；(2)先由tanα＝tan[(α－β)＋β]，求出tanα的值，再求tan2α的值，这样能缩小角2α的取值范围；(3)善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可使问题简化．题型二正、余弦定理例2(2011·大纲全国)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.解(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝22.又B为三角形的内角，因此B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.故a＝bsinAsinB＝2＋62＝1＋3，c＝bsinCsinB＝2×sin60°sin45°＝6.探究提高正、余弦定理与三角函数恒等变换综合考查是高考的一个方向．本题突破的关键是先根据三角变换化简，再利用正、余弦定理求解．规律方法总结1．证明三角恒等式的常用方法(1)从一边开始证它等于另一边，一般由繁到简．(2)证明左右两边都等于同一个式子(或值)．(3)运用分析法，证明其等式成立．2．三角恒等变形的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．3．已知两边及其一边的对角，判断三角形解的情况以已知a，b，A为例(1)当A为直角或钝角时，若ab，则有一解；若a≤b，则无解．(2)当A为锐角时，如下表：absinAa＝bsinAbsinAaba≥b无解一解两解一解4.三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝π.(2)ABC⇔abc⇔sinAsinBsinC.(3)a＝bcosC＋ccosB.5．在△ABC中，三边分别为a，b，c(abc)(1)若a2＋b2c2，则△ABC为锐角三角形．(2)若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形．(3)若a2＋b2c2，则△ABC为钝角三角形．名师押题我来做1．已知cosπ4－α＝1213，π4－α是第一象限角，则sinπ2－2αsinπ4＋α的值是________．押题依据同角三角函数的基本关系式，诱导公式及倍角公式都是高考的热点，本题题点设置恰当，难度适中，体现了对基础和能力的双重考查，故押此题．押题级别★★★★★解析∵π4－α是第一象限角，∴sinπ4－α＝513，于是sinπ2－2αsinπ4＋α＝sin2π4－αcosπ4－α＝2sinπ4－α＝1013.答案10132．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知2sinA＝3cosA.(1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；(2)若a＝3，求△ABC面积的最大值．押题依据本题将三角函数、余弦定理及基本不等式巧妙地结合在一起，突出了对重点知识的重点考查．体现了高考题在知识的交汇处出题的理念，故押此题．押题级别★★★★★解(1)∵2sinA＝3cosA，∴2sin2A＝3cosA，即2cos2A＋3cosA－2＝0，解得cosA＝12或－2(舍去)，又0Aπ，∴A＝π3.由余弦定理，知b2＋c2－a2＝2bccosA.又a2－c2＝b2－mbc，可得cosA＝m2，∴m＝1.(2)由余弦定理及a＝3，A＝π3，可得3＝b2＋c2－bc，再由基本不等式b2＋c2≥2bc，∴bc≤3，∴S△ABC＝12bcsinA＝12bcsinπ3＝34bc≤334，故△ABC面积的最大值为334.返回