线性方程组的表示、消元法

1定义1211112211211222221122ij,,,(systemoflinearequations),a(1,2,,;1,2,,)(1,n2,,)nnnnnsssnnsxxxaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbisjnis1i含有n个未知变量的一次方程组元线性方程组称为称为，b称系数为常数项.§1线性方程组的表示、消元法2111212122212nnsssnaaaaaaAaaa，1122,,nnxbxbXxb让(,).AAAA系数矩称为线性方程组阵增的，称为广矩阵.312A=(,,,),nA对系数矩阵进行列分块则可得到线性方程组的：向量形式1122.nnxxx线性方程也可以表示为求和形式：nijj=1a,(1,2,,).jixbis.AX：矩阵形式借助于矩阵乘法，线性方程组可表示为412000,AX=...nccnXAXXc维向量若满足则称是线性方程组的一个，方程组解的全体构成的集合称为解集合相等的方程组称为同解方程组常数项有非零项的线性方程组称为，常数项全为零的解解集合非齐次线性方程组齐次线为性方程组称5线性方程组研究的主要问题为：（1）线性方程组是否有解？（2）线性方程组如有解，有多少个解?（3）线性方程组如有解，如何求解？如解有无穷多，如何表示所有的解？6引例)1(求解线性方程组,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342用消元法解下列方程组的过程．2消元法解线性方程组7解)(1B)1()(2B2132,97963,232,22,424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx134221323314,3433,6355,0222,424324324324321xxxxxxxxxxxxx13428)(3B)(4B,3,62,0,42444324321xxxxxxxxx1342522133422,00,3,0,4244324321xxxxxxxx134232443用“回代”的方法求出解：9解得3344321xcxcxcx.3可任意取值x方程组的解可记作或令,3cx,3344321cccxxxxx.为任意常数其中c30340111cx即(2),3,3,443231xxxxx方程组的解为令,3cx10从上面的例子我们可以看出，用消元法解线性方程组，实际上是对线性方程组施行了以下三种变换：(1)互换两个方程的位置；(2)用一非零数c乘某一方程；(3)把其中一个方程的k倍加到另一个方程上我们称以上三种变换为线性方程组的初等变换11这三种初等变换只改变了线性方程组的系数和常数，而未知量保持不变。因此，如果将未知量与系数和常数项分离开来，实际上是对系数和常数项构成的增广矩阵作了三种初等行变换。因此解线性方程组时只需对由系数和常数项所构成的增广矩阵作初等行变换。12问题：（1）为什么经过一系列的初等行变换以后得到的新的方程组的解为原方程组的解。我们需要给出它的理论依据。(2)是否任意一个线性方程组都有解，在什么条件下方程组无解？13(,)(.)),(,AACCAXCXCXAX理论根据这个过程相当于对＝作有限多次初等变换，变为消元法解线性方程组的：对线性方程组做有限多次初等变化换化为线性方程组则与行同解%%140000010(,)PACPAPAPCPAPBXAXAXPCXXCXPAX%%%这是因为存在可逆矩阵，使得，得，。如果是的解，则，用左乘等式两端得到；反之，若满足，用左乘等式两端得，故两方程组同解。15阶梯矩阵定义(),A.Jordan)()A.ijmnAa设矩阵的每一行的第一个非零元称为该行的若A的所有元素全为零的行如果存在这样的零行都位于最下端，而不全为零的行依次的首元所在的列标是严格增加的，则称A是（laddermatrix).若首元皆为1,同时首元所在列其余元素皆为零的阶梯形矩阵首元阶梯形矩阵若当（称阶梯形为例001011001,第一，二，三行的首元所在的列依次为2，1，3，不是严格增的，故不是阶梯行.16（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；500000310003011040101B（2）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．行阶梯形矩阵特点：0000010000001000011017回顾:消元法解方程的过程实际上就是用一系列初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵(特别是若当阶梯形)的过程.,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx现重新用初等行变换化增广矩阵为Jordan阶梯形的方法求解线性方程组1897963422644121121112)(~bAA979634226421112412111,2行交换第解19979632113221112412111/23行乘以第3433063550613304121143-132-122-1行倍加到第行的第行，倍加到第行的第行，倍加到第行的第209300043/4000613304121141235/3-2行，倍加到第行的第行，倍加到第行的第310003100023/1110412113/144/33-1/32行乘以第，行乘以第，行乘以第21000003100023/1110412114-13行倍加到第行的第阶梯形000003100030110702111-132-1/33行倍加到第行的第行倍加到第行的第22000003100030110401011-12行倍加到第行的第若当阶梯形于是得到原方程组的同解方程组132344,3,3,00,xxxxx134223例解线性方程组6312242212121xxxxxx24解：写出增广矩阵，对其进行初等行变换化简：以为增广矩阵的线性方程组有一矛盾方程0=47，从而原方程组无解。A~BAA~4794001021294501021274506021614312221),(~5)2()3(1)3()2(1)1()3(2)1()2(B~25注：若原方程组与同解方程组中出现矛盾方程，则原方程组无解。26例用消元法解线性方程组2421325232121321xxxxxxxx27解：3133178100010001269860063000126356002102113115210450211215421032211//~A28所以原方程组的解为，与用Gramer法则所得结果一样。131724310X29例解齐次线性方程组AX=0，其中系数矩阵026311421121A30解：BA000031001121310031001121026311421121与原方程组同解的齐次线性方程组BX=0的一般形式为，310032200030224342143421xxxxxxxxxx或很显然对于任意的都能解出令，得42,xx31,xxlxkx42,lxlkx3,2231方程组的解为为任意常数lklkllklk,,1302001232232从上面的例子可以看出，求解线性方程组分为以下几步：1.对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形；2.若阶梯形增广矩阵对应的最后一个不为零的方程为，则原方程组无解；否则方程组一定有解.3.有解的情况下:当阶梯形增广矩阵非零数行等于未知数个数时,则解唯一;否则非零行数就小于未知数,这时候方程组有无穷多解.要解出方程组,就需要继续对阶梯形增广矩阵进行初等行变换,最终化为若当阶梯形.若当阶梯形增广矩阵对应的方程组实际上就是解(让非首元对应的未知数取任意数).0,0dd33证明：必要性。设满足。若，则A可逆，有唯一解矛盾，故。00X00AX0A001A0A充分性。当n=1时，有非零解，假设n-1时结论成立。00,0111xA定理1设A为n阶方阵，则齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是。0A