2020高考数学一轮复习第三章(第1课时)三角函数公式的基本应用ppt课件

三角函数、解三角形第三章第三讲两角和与差的三角函数二倍角公式第一课时三角函数公式的基本应用1考点突破2名师讲坛考点突破考点1三角函数公式的直接应用——自主练透例1(1)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝()A．－210B．210C．－7210D．7210(2)已知sinα＝35，a∈(π2，π)，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A．－211B．211C．112D．－112CA(3)(2017·山东)已知cosx＝34，则cos2x＝()A．－14B．14C．－18D．18(4)(2017·课标全国Ⅲ)已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A．－79B．－29C．29D．79DA[解析](1)因为cosα＝－45，α是第三象限的角，所以sinα＝－1－cos2α＝－35，所以sin(α＋π4)＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝(－35)×22＋(－45)×22＝－7210.(2)cosα＝－45，tanα＝－34，tanβ＝－12，tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαsinβ＝－211.(3)由cosx＝34得cos2x＝2cos2x－1＝2×(34)2－1＝18.故选D．(4)由sinα－cosα＝43得(sinα－cosα)2＝169，即1－sin2α＝169，所以sin2α＝－79，故选A．三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．考点2三角函数公式的逆用与变形用——多维探究例2角度1公式的逆用(1)(2015·新课标Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B．32C．－12D．12(2)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB－1，则cosC＝________.(3)cosπ9cos2π9cos3π9cos4π9＝________.(4)sin50°(1＋3tan10°)＝_____.D122116[解析](1)原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝cos30°＝12，故选D．另解：原式＝cos70°cos10°＋sin70°sin10°＝cos(70°－10°)＝cos60°＝12.(2)tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝tanAtanB－11－tanAtanB＝－1，∴tanC＝1，又C∈(0，π)，∴C＝π4，∴cosC＝22.(3)解法一：cosπ9cos2π9cos3π9cos4π9＝12cosπ9cos2π9cos4π9＝12·8sinπ9cosπ9cos2π9cos4π98sinπ9＝12·4sin2π9cos2π9cos4π98sinπ9＝12·2sin4π9cos4π98sinπ9＝12·sin8π98sinπ9＝12·sinπ－π98sinπ9＝12·sinπ98sinπ9＝116.解法二：由sin2α＝2sinαcosα，得cosα＝sin2α2sinα，∴原式＝sin2π92sinπ9·sin4π92sin2π9·12·sin8π92sin4π9＝116.(4)sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°(1＋3×sin10°cos10°)＝sin50°×cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°×2×12cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.故填1.角度2公式的变形应用(1)(2018·天津耀华中学模拟)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5(tanαtanβ)2＝()A．5B．4C．3D．2例3B(2)(文)(2018·陕西吴起高级中学模拟)已知sin2α＝23，则cos2(α＋π4)＝()A．16B．－16C．12D．23(理)化简sin2(α－π6)＋sin2(α＋π6)－sin2α的结果是________.A12[解析](1)∵sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝12，sinαcosβ－cosαsinβ＝13，∴sinαcosβ＝512，cosαsinβ＝112，∴tanαtanβ＝5，∴log5(tanαtanβ)2＝log552＝4，故选B．(2)(文)∵sin2α＝23，∴cos2(α＋π4)＝1＋cos2α＋π42＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A．(理)原式＝1－cos2α－π62＋1－cos2α＋π62－1－cos2α2＝1－cos2α－π3＋cos2α－cos2α＋π32＝1－cos2αcosπ3－sin2αsinπ3＋cos2α－cos2αcosπ3＋sin2αsinπ32＝12.(1)注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．(2)熟记三角函数公式的2类变式①和差角公式变形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)．②倍角公式变形：降幂公式cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2，配方变形：1±sinα＝(sinα2±cosα2)2,1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.〔变式训练1〕(1)(角度1)(2018·河北武邑中学调研)下列式子的运算结果为3的是()①tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°；②2(sin35°cos25°＋cos35°cos65°)；③1＋tan15°1－tan15°；④tanπ61－tan2π6.A．①②④B．③④C．①②③D．②③④(2)(角度2)(2018·课标Ⅱ，15)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝__________.C－12[解析](1)对于①，tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°＝tan(25°＋35°)(1－tan25°tan35°)＋3tan25°tan35°＝3－3tan25°tan35°＋3tan25°tan35°＝3；对于②，2(sin35°cos25°＋cos35°cos65°)＝2(sin35°cos25°＋cos35°sin25°)＝2sin60°＝3；对于③，1＋tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan60°＝3；对于④，tanπ61－tan2π6＝12×2tanπ61－tan2π6＝12×tanπ3＝32.综上，式子的运算结果为3的是①②③.故选C．(2)本题主要考查同角三角函数的平方关系与两角和的正弦公式．由sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，两式平方相加，得2＋2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1，整理得sin(α＋β)＝－12.利用平方关系：sin2α＋cos2α＝1，进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧，应熟练掌握．考点3角的变换与名的变换——师生共研例3(1)(2018·课标全国Ⅱ，15)已知tan(α－5π4)＝15，则tanα＝________.(2)(文)已知α、β∈(0，π2)，且cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sinβ＝________.3232(理)(2018·课标全国Ⅱ，15)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝－13，则sin(2α＋π12)的值为()A．725B．72－818C．－17250D．25(3)(2018·内蒙古巴彦淖尔一中期中)若tan20°＋msin20°＝3，则实数m的值为()A．1B．3C．6D．4BD[解析](1)本题主要考查两角差的正切公式．解法一：tanα＝tan[(α－5π4)＋5π4]＝tanα－5π4＋tan5π41－tanα－5π4tan5π4＝32.解法二：tan(α－5π4)＝tanα－tan5π41＋tanαtan5π4＝tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.(2)(文)因为已知a∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，所以sinα＝1－cos2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝5314，则sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝5314×17－(－1114)×437＝32.(理)∵α为锐角，∴0απ2，π6α＋π62π3，设β＝α＋π6，由cos(α＋π6)＝－13，得sinβ＝223，sin2β＝2sinβcosβ＝－429，cos2β＝2cos2β－1＝－79，∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝sin(2β－π4)＝sin2βcosπ4－cos2βsinπ4＝(－429)×22－(－79)×22＝72－818.故选B．(3)∵tan20°＋msin20°＝sin20°cos20°＋msin20°＝3，∴msin20°cos20°＝3cos20°－sin20°＝2sin(60°－20°)＝2sin40°，∴m2sin40°＝2sin40°，∴m＝4.故选D．(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(π4＋α)＋(π4－α)＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．〔变式训练2〕(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos(π4－α)＝35，则sin2α＝()A．725B．15C．－15D．－725(2)(2018·山西康杰中学月考)若sinα＋cosαsinα－cosα＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.D43[解析](1)因为cos(π4－α)＝35，sin2α＝cos(π2－2α)＝2cos2(π4－α)－1＝－725.(2)∵sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3，∴tanα＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－tanα－β＋tanα1－tanα－β·tanα＝43.名师讲坛辅助角公式的应用asinα＋bcosα＝a2＋b2(sinα·aa2＋b2＋cosα·ba2＋b2)不妨记cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，则asinα＋bcosα＝a2＋b2(sinαcosφ＋cosαsinφ)＝a2＋b2sin(α＋φ).例5应用1求值(2018·湖南浏阳一中期中)已知sin(π6＋α)＋cosα＝－33，则cos(π6－α)＝()A．－223B．223C．－13D．13C[分析]将sin(π6＋α)展开后重组再用辅助角公式化简．[解析]∵sin(π6＋α)＋cosα＝－33，∴12cosα＋32sinα＋cosα＝－33，即32sinα＋32cosα＝－33∴12sinα＋32cosα＝－13，即sin(α＋π3)＝－13，∴cos(π6－α)＝cos[π2－(α＋π3)]＝sin(α＋π3)＝－13，故选C．例4应用2求最值(1)(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为________.(2)函数f(x)＝23sinx·cosx－2sin2x的值域为_________.[分析](1)直接利用辅助角公式化为Asi