搜索
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算名称定义备注向量既有_____又有_____的量；向量的大小叫做向量的_____(或称___)平面向量是自由向量零向量长度为__的向量；其方向是任意的记作__大小方向长度模00名称定义备注单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量共线向量_______________的非零向量又叫做共线向量0与任一向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为01个单位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算_______法则____________法则(1)交换律：a＋b＝_____；(2)结合律：(a＋b)＋c＝___________三角形平行四边形b＋aa＋(b＋c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差_______法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝______；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向_____；当λ＜0时，λa的方向与a的方向_____；当λ＝0时，λa＝__λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝__________；λ(a＋b)＝___________三角形相同相反|λ||a|(λμ)aλa＋μaλa＋λb0答案：Ab＝λa2．(教材习题改编)化简：(1)(AB＋MB)＋BO＋OM＝________.(2)NQ＋QP＋MN－MP＝________.答案：(1)AB(2)03．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．1．若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c的关系是________．(填序号)①共线；②不共线；③以上二者皆可能．答案：③2．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________.解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.答案：21．(易错题)给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.答案：A2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.答案：D1．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则()A．AD＝－13AB＋43ACB．AD＝13AB－43ACC．AD＝43AB＋13ACD．AD＝43AB－13AC解析：AD＝AC＋CD＝AC＋13BC＝AC＋13(AC－AB)＝43AC－13AB＝－13AB＋43AC，故选A．答案：A2．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________(用a，b表示)．解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.答案：b－a－a－b3．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE＝DB＋BE＝12AB＋23BC＝12AB＋23(BA＋AC)＝－16AB＋23AC，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：12设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．解析共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB＝λAC，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．[提醒]证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝23AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．解析