解三角形复习

教材面面观1．正弦定理：asinA＝______＝______＝2R，其中R是______．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝________，cosA＝________.答案bsinBcsinC三角形外接圆半径答案a2＋c2－2accosBb2＋c2－a22bc3．三角形常用面积公式：(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝12absinC＝________＝12bcsinA＝abc4R.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．答案12acsinB考点串串讲1．解直三角形在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)三边满足勾股定理(2)两锐角互余，即∠A＋∠B＝90°(3)边角之间有如下关系sinα＝α的对边斜边cosα＝α的邻边斜边tanα＝α的对边α的邻边(其中α为某个锐角)2．正弦定理(1)正弦定理若a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对的边长，则asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是△ABC外接圆的半径．正弦定理不仅揭示了三角形中边与角之间的正弦关系，而且还揭示了它们与三角形的外接圆半径之间的关系，其变形形式有：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2RasinB＝bsinA，csinB＝bsinC，csinA＝asinC，abc＝sinABC以上这些关系式，可根据问题的条件和结论加以选择应用．3．余弦定理(1)余弦定理：若a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对边长，则a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它的另一种表示形式是cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，∠A为钝角⇔a2＞b2＋c2，∠A为直角⇔a2＝b2＋c2，∠A为锐角⇔a2＜b2＋c2.(4)常用的三角形面积公式S＝12aha＝12bhb＝12chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高)S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinBS＝abc4R(R为外接圆半径)S＝12pp－ap－bp－c(其中p＝12(a＋b＋c))S＝12(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)4．解三角形常用的公式和结论(1)关于三角形边、角的主要关系式①三角形内角和等于180°.②三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．③三角形中大边对大角，小边对小角．④正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R.⑤勾股定理c2＝a2＋b2.(其中c为直角三角形的斜边)．⑥余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC；cosC＝a2＋b2－c22ab.易知勾股定理是余弦定理的特殊情况．⑦在△ABC中有：a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sinB⇔cosAcosB.(2)三角形的面积公式①S△＝12ah(其中h是a边上的高)．②S△＝12absinC.③S△＝ss－as－bs－c＝sr，s为周长的一半，r为内切圆半径．④S△＝abc4R，其中R为外接圆半径．(3)由A＋B＋C＝π，易推出①sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C)．②sinA2＝cosB＋C2，cosA2＝sinB＋C2.(4)特殊三角形的性质：如等腰三角形、正三角形、锐角三角形等．(5)三角形的重心、内心、外心、垂心的性质以及中线、高、角分线的性质等．5．解三角形实际应用(1)应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定实际问题所涉及的三角形，并理清该三角形的已知元与未知元；③选用正、余弦定理进行求解，有时需综合运用这两个定理，并注意运算的正确性；④给出答案．(2)解斜三角形的实际问题中几个测量中的角度：①坡度：指坡面角的正切值，坡度i＝hd＝tanα.②俯角：视线在水平线以下时，视线与水平线在铅垂面内所成的角为俯角，如图α为俯角．③仰角：视线在水平线以上时，视线与水平面在铅垂面内所成的角为仰角，如图β为仰角．④方位角：典例对对碰题型一利用正余弦定理进行边角转化例1在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．解析(1)解法一：由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.将上式代入已知cosBcosC＝－b2a＋c，得cosBcosC＝－sinB2sinA＋sinC.即2sinAcosB＋sinCcosB＋cosCsinB＝0.2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0.∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA.∴2sinAcosB＋sinA＝0.∵sinA≠0，∴cosB＝－12.∵B为三角形的内角，∴B＝23π.解法二：由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab，将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c，得a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c.整理得a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.∵B为三角形的内角，∴B＝23π.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π代入余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac(1－12)．∴ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝343.变式迁移1△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝52b，A＝2B，则cosB＝()A.53B.54C.55D.56答案B解析由题意得ab＝52＝sinAsinB＝sin2BsinB＝2cosB，cosB＝54，选B.题型二三角形的面积例2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c其中c边最长，并且sin2A＋sin2B＝1，(1)求证：△ABC为直角三角形；(2)当c＝1时，求△ABC面积的最大值．解析(1)证明：∵c边为最长边，∴A、B均为锐角．由sin2A＋sin2B＝1得sin2A＝cos2B.∵sinA、cosB均为正数，∴sinA＝cosB.∴sinA＝sin(π2－B)，又A，π2－B∈(0，π2)，∴A＝π2－B.∴A＋B＝π2，即C＝π2.所以三角形ABC为直角三角形．(2)三角形ABC的面积的最大值S＝12ab＝14·2ab≤14(a2＋b2)，由于a2＋b2＝c2＝1，∴S≤14，当且仅当a＝b＝22时，上式取等号，所以△ABC面积的最大值为14.变式迁移2在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程x2－23x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1.求：(1)角C的度数；(2)AB的长；(3)△ABC的面积．解析(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－12，∴C＝120°(2)∵a、b是方程x2－23x＋2＝0的两个根，∴a＋b＝23，a·b＝2.∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB＝10.(3)S△ABC＝12·a·b·sinC＝12·a·b·sin120°＝32.题型三判断三角形的形状例3在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状．分析判断三角形形状问题，可由正余弦定理，将角的问题统一到边处理，或由边的问题转化到角处理，由等式两边均为关于边的二次式，可先将边化为角，再利用角的变换来判断．解析∵asinA＝bsinB＝csinC＝2R，∴b2＝4R2sin2B.c2＝4R2sin2C,2bc＝8R2sinBsinC.∴4R2sin2B·sin2C＋4R2sin2Bsin2C＝8R2sinBsinCcosB·cosC.即sinB·sinC＝cosB·cosC.∴cos(B＋C)＝0，∴B＋C＝π2，∴A＝π2.∴△ABC是直角三角形．点评判断三角形的思路有两条——化边和化角，工具是正余弦定理和三角形中的边角关系．在本例中若转化为边，等式左边产生R2，而等式右边没有，处理难度较大，所以简单易行的方法就是转化为角.变式迁移3(1)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinB·cosC，试确定△ABC的形状．(2)在△ABC中，若tanA：tanB＝a2：b2，试判断△ABC的形状．解析(1)由于(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以a2＝b2＋c2－bc，而a2＝b2＋c2－2bccosA.∴2cosA＝1，即cosA＝12.∴A＝60°.∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，而由已知sinA＝2sinB·cosC，∴sinBcosC＝cosBsinC，即sin(B－C)＝0，∴B＝C.∵B＋C＝120°，∴B＝C＝60°.∴△ABC是等边三角形．(2)由同角三角函数关系及正弦定理可推得：sinAcosBcosAsinB＝sin2Asin2B.∵A、B为三角形的内角．∴sinA≠0，sinB≠0，∴cosBcosA＝sinAsinB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B，或2A＝π－2B.∴A＝B，或A＝π2－B.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.题型四解三角形的实际应用例4如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在c处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？分析船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小．于是，只要先算出AC(或AB)，再算了A到BC所在直线的距离，将它与38海里比较即得问题的解．解析在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠ACB＝180°－45°＝135°，∴∠A＝15°.由正弦定理知：BCsinA＝ACsinB.∴30sin15°＝ACsin30°.∴AC＝30sin30°sin15°＝60cos15°＝15(6＋2)．于是A到BC所在直线的距离为：ACsin45°＝15(3＋1)≈40.98(海里)．它大于38海里，所以继续向南航行无触礁的危险.题型五正弦定理例5△ABC中，已知cosA＝45，cosB＝513，则a：b：c＝________.分析先求出sinA，sinB，sinC.解析∵cosA＝45，cosB＝513，0＜A＜π，0＜B＜π，∴sinA＝35，sinB＝1213.∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝35×513＋45×1213＝6365.∴abc＝sinABC＝3512136365＝答案B变式迁移5在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝10，又知cosAcosB＝ba＝43，求a、b及△ABC的内切圆的半径．解析由cosBcosA＝ab，sinAsinB＝ab，可得cosAcosB＝sinBsinA.变形为sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.又∵a≠b，∴2A＝π－2B，∴A＋B＝π2.∴△ABC是直角三角形．由a2＋b2＝102，ba＝43，解得a＝6，b＝8.∴内切圆的半径为r＝a＋b－c2＝6＋8－102＝2.题型六余弦定理例6已知在△ABC中，∠A＝45°，AB＝6，BC＝2，求其他边和角．分析本题可利用正弦定理先求出角C，再求出角B及边AC.也可利用余弦定理先求出边AC，再求同角C及角B.解法二(利用余弦定理)：设AC＝b，由余弦定理可得：b2＋(6)2－26bcos45°＝22，b2－23b＋2＝0.∴b＝3±1；又∵(6)2＝b2＋22－2×2bcosC，