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第八章平面解析几何第二节两条直线的位置关系[最新考纲]1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．课前自主回顾1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.k1＝k2(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔_____________.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.k1·k2＝－12．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝__________________.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝________.x1－x22＋y1－y22x2＋y2|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2[常用结论]由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l1与l2l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0平行的充分条件A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)充分条件A1A2≠B1B2(A2B2≠0)重合的充分条件A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．已知点(a,2)(a0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A.2B．2－2C.2－1D.2＋1C[由题意得|a－2＋3|2＝1，即|a＋1|＝2，又a0，∴a＝2－1.]2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝.1[由题意知m－4－2－m＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.]3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为．－9[由y＝2x，x＋y＝3，得x＝1，y＝2.所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.]4．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是．2[由两直线平行可知36＝4m，即m＝8.∴两直线方程分别为3x＋4y－3＝0和3x＋4y＋7＝0，则它们之间的距离d＝|7＋3|9＋16＝2.]课堂考点探究考点1两条直线的位置关系解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”1.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[当a＝1时，显然l1∥l2，若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，所以a＝1或a＝－2.所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．]2．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为()A.12B.32C.14D.34D[由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝34.]3．已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为()A.－43，23B.43，－23C.－43，23，43D.－43，－23，23D[∵三条直线不能构成一个三角形，∴①当l1∥l3时，m＝23；②当l2∥l3时，m＝－43；③当l1，l2，l3交于一点时，也不能构成一个三角形，由2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，得交点为－1，－13，代入mx－y－1＝0，得m＝－23.故选D.]直接运用“直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行与垂直的充要条件解题”可有效避免不必要的参数讨论．考点2两条直线的交点与距离问题(1)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件①求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．②求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．(1)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为．(1)x＋2y－7＝0(2)x＋3y－5＝0或x＝－1[(1)由x＋y－4＝0，x－y＋2＝0，得x＝1，y＝3，∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－13，∴直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．]1.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算．1.当0k12时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B[由kx－y＝k－1，ky－x＝2k得x＝kk－1，y＝2k－1k－1.又∵0k12，∴x＝kk－10，y＝2k－1k－10，故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．]2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.95B.185C.2910D.295C[因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ|的最小值为2910.]考点3对称问题中心对称问题中心对称问题的解法(1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足x′＝2a－x，y′＝2b－y.(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为．x＋4y－4＝0[设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.]点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题，利用中点坐标公式求解．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()A．(0,4)B．(0,2)C．(－2,4)D．(4，－2)B[直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．]轴对称问题轴对称问题的解法(1)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有n－bm－a×－AB＝－1，A·a＋m2＋B·b＋n2＋C＝0.(2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．(1)已知直线y＝2x是△ABC中角C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4)B．(－2，－4)C．(2,4)D．(2，－4)(2)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为．(1)C(2)6x－y－6＝0[(1)设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则y－2x＋4×2＝－1，y＋22＝2×－4＋x2，解得x＝4，y＝－2，∴BC所在直线方程为y－1＝－2－14－3(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立3x＋y－10＝0，y＝2x，解得x＝2，y＝4，则C(2,4)．(2)设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以b－4a－－3·1＝－1，－3＋a2－b＋42＋3＝0，解得a＝1，b＝0.即M′(1,0)．又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为y－06－0＝x－12－1，即6x－y－6＝0.]在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．1.若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝.345[由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3＋n2＝2×7＋m2－3，n－3m－7＝－12，解得m＝35，n＝315，故m＋n＝345.]2．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程．[解](1)设A′(x，y)，则y＋2x＋1×23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413，即A′－3313，413.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，解得a＝613