高中数学必修3和必修5综合检测试卷(附答案)

高中数学必修3和必修5综合检测试卷总分共150分，时间120分钟一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由11a，3d确定的等差数列na，当298na时，序号n等于（）Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.ABC中，若60,2,1Bca，则ABC的面积为（）A．21B．23C.1D.33.在数列{}na中，1a=1，12nnaa，则51a的值为（）A．99B．49C．102D．1014.已知0x，函数4yxx的最小值是（）A．5B．4C．8D．65.在等比数列中，112a，12q，132na，则项数n为（）A.3B.4C.5D.66.不等式20(0)axbxca的解集为R，那么（）A.0,0aB.0,0aC.0,0aD.0,0a7.设,xy满足约束条件12xyyxy,则3zxy的最大值为（）A．5B.3C.7D.-88.若一组数据a1，a2，…，an的方差是5，则一组新数据2a1，2a2，…，2an的方差是（）A.5B.10C.20D.509.在△ABC中，如果sin:sin:sin2:3:4ABC，那么cosC等于（）2A.32B.-31C.-31D.-410.一个等比数列}{na的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A、63B、108C、75D、83二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11.在ABC中，04345,22,3Bcb，那么A＝_____________;图30.040产品数量频率组距0.0250.0200.0100.005045556575859512.已知等差数列na的前三项为32,1,1aaa，则此数列的通项公式为________13.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95)，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是．13．有一个简单的随机样本：10,12,9,14,13，则样本平均数x=______，样本方差2s=______。14.已知数列｛an｝的前n项和2nSnn，那么它的通项公式为an=_________三、解答题(本大题共6个小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)已知等比数列na中，45,106431aaaa，求其第4项及前5项和.17.（12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。（1）将y表示为x的函数：（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。18．(12分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程22320xx的两个根，且2()1cocAB。求：(1)角C的度数；(2)AB的长度。19．(13分)若不等式0252xax的解集是221xx，(1)求a的值；(2)求不等式01522axax的解集.20．（14分）如图，货轮在海上以35nmile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32．求此时货轮与灯塔之间的距离．21.（14分）设数列na的前n项和为nS，对任意的正整数n，都有51nnaS成立，记*4()1nnnabnNa。（I）求数列na与数列nb的通项公式；ACB北北152o32o122o（II）设数列nb的前n项和为nR，是否存在正整数k，使得4nRk成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；（III）记*221()nnncbbnN，设数列nc的前n项和为nT，求证：对任意正整数n都有32nT；高中数学必修3和必修5综合检测试卷参考答案一．选择题。题号12345678910答案BCDBCACCDA二．填空题。11．15o或75o12．na=2n－313．1{2}3xx14．11.615.na=2n三．解答题。15.解：设公比为q，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分由已知得45105131211qaqaqaa┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分即45)1(①10)1(23121qqaqa┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分②÷①得21,813qq即，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分将21q代入①得81a，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分1)21(83314qaa，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分231211)21(181)1(5515qqas┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分16.解：（1）如图，设矩形的另一边长为am则2y-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=x360,所以y=225x+)0(3603602xx(II)108003602252360225,022xxx②104403603602252xxy.当且仅当225x=x2360时，等号成立.即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.17．解：（1）21coscoscosBABACC＝120°┄┄┄5分（2）由题设：232abab┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分120cos2cos222222abbaCBCACBCACAB102322222abbaabba┄13分10AB┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分18．（1）依题意，可知方程2520axx的两个实数根为12和2，┄┄┄┄┄┄2分由韦达定理得：12+2=5a┄4分解得：a=－2┄6分（2）1{3}2xx┄┄┄12分19．在△ABC中，∠B＝152o－122o＝30o，∠C＝180o－152o＋32o＝60o，∠A＝180o－30o－60o＝90o，┄┄┄5分BC＝235，┄┄7分∴AC＝235sin30o＝435．┄┄13分答：船与灯塔间的距离为435nmile．┄┄┄14分20．【解析】（I）当1n时，111151,4aSa又1151,51nnnnaSaS11115,4即nnnnnaaaaa∴数列na是首项为114a，公比为14q的等比数列，∴1()4nna，*14()4()11()4nnnbnN…………………………3分（II）不存在正整数k，使得4nRk成立。证明：由（I）知14()5441(4)11()4nnnnb212212555201516408888.(4)1(4)1161164(161)(164)kkkkkkkkkbb∴当n为偶数时，设2()nmmN∴1234212()()()84nmmRbbbbbbmn当n为奇数时，设21()nmmN∴1234232221()()()8(1)4844nmmmRbbbbbbbmmn∴对于一切的正整数n，都有4nRk∴不存在正整数k，使得4nRk成立。…………………………………8分（III）由54(4)1nnb得2122212255151615161516154141(161)(164)(16)3164(16)16nnnnnnnnnnnnnncbb又1221343,,33bbc，当1n时，132T，当2n时，2223211[1()]41114161625()2513161616311614693162513482116nnnT………………………14分