高中数学：三角函数

第三章三角函数、解三角形高考目标定位目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩内容分析命题热点1.弧度制和角的概念的推广是三角函数的基础，弧度制的引入，也简化了弧长公式、面积公式等．2．三角函数同二次函数、幂函数、指数函数、对数函数一样，其图象、性质和应用是考查的重点，其中y＝Asin(ωx＋φ)的图象是研究函数图象变换的代表．3．三角恒等式的化简、求值和证明，是培养学生分析问题、解决问题能力和提升学生思维品质的良好载体．公式的逆用和变形都需要较强的应变能力．4．解三角形进一步体现了数学的应用性，正弦定理和余弦定理的推导和应用，有利于培养学生的建模、解模能力．5．本章概念多、公式多(如同角三角函数关系式、诱导公式、两角和与差的正余弦、正切、正余弦定理等)、符号变化多，这几多决定了学习本章要加强记忆．本章与其他章节联系也很密切，是综合应用所学知识的一章.近几年的高考中，对本章内容的考查多以选择题和填空题的形式出现，解答题独立命题的情形也有，主要是三角与其他知识的综合渗透，如与数列、不等式综合；独立命题，考查三角函数性质及图象变换．从高考试题分析，高考对本章考查侧重于：1．三角函数的性质、图象及其变换，主要是y＝Asin(ωx＋φ)的性质、图象及变换．2．已知三角函数值求角．3．灵活运用公式，通过简单的三角恒等变换解决三角函数的化简、求值或证明问题，借助三角变换解与三角形有关的问题．根据高考的最新动态，我们预测今后有关三角函数高考命题的趋势是：①试题的题型、题量及难度将基本保持稳定．②三角函数是重要的基本初等函数，是研究其他知识的重要工具，高考将注重基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查．③考查的重点仍是三角函数的定义、图象和性质．④新教材更加突出了应用问题的地位，这也是今后的命题方向.第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数1.了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号．4．理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.基础自主梳理梳理基础知识检测自身能力1．终边相同的角(1)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合____________________________或____________________________．(2)终边相同的角的同一三角函数的值__________，即sin(α＋k·2π)＝__________(其中k∈Z)；cos(α＋k·2π)＝__________(其中k∈Z)；tan(α＋k·2π)＝__________(其中k∈Z)．2．弧长及扇形的面积公式知识梳理l＝|α|·r，S＝12lr＝12|α|r2，其中l为扇形弧长，α为圆心角，r为扇形半径．{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}sinαcosαtanα相等3．三角函数的定义已知P(x，y)是角α终边上任一点，|OP|＝r，则4.各象限角的三角函数值的符号可用口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦来判断．三角函数定义式定义域正弦函数sinα＝_______R余弦函数cosα＝_______R正切函数tanα＝________________________yrxryx{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}5．三角函数线图1图中有向线段MP、OM、AT分别表示_________、_________、_________．正弦线余弦线正切线课前自测1．点P(tan2007°，cos2007°)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵2007°＝360°×6－153°，∴2007°与－153°的终边相同，∴2007°是第三象限角，∴tan2007°0，cos2007°0.∴P点在第四象限，故选D.答案：D2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在()A．x轴上B．y轴上C．直线y＝x上D．直线y＝－x上解析：由角α的余弦线长度为1分析可知，角α的终边与x轴重合．答案：A3．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1或4B．1C．4D．8答案：A解析：设扇形的半径和弧长分别为r，l，则易得l＋2r＝612lr＝2，解得l＝4r＝1或l＝2r＝2，故扇形的圆心角的弧度数是1或4.4．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是________．解析：由已知得sinα－cosα0tanα0，解得α∈(π4，π2)∪(π，5π4)．答案：(π4，π2)∪(π，5π4)5．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则a，b，c的大小关系为________．解析：∵a＝－sin1，b＝cos1，c＝－tan1，∴a0，b0，c0.又∵sin1tan1，∴－sin1－tan1，∴cab.答案：cab热点分类讲练点击重点难点关注热点题型热点之一终边相同角的表示1．角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝2kπ＋3π2，k∈Z}．2．(1)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π]范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(2)角度制和弧度制不能混用，如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋π2(k∈Z)都是不正确的．[思路探究](1)一般地，角α与－α终边关于x轴对称；角α与π－α终边关于y轴对称；角α与π＋α终边关于原点对称．(2)求终边落在某一直线上的角的集合，只需找到(0，π)内终边落在此直线上的角α，然后代入S＝{β|β＝kπ＋α，k∈Z}，集合S即为所有角的集合．(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k赋值来求得所需角．[例1](1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边落在第几象限？(2)写出终边落在直线y＝3x上的角的集合；(3)若θ是与168°终边相同的角，求在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角．[课堂记录](1)π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，∴－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．①∴－α角终边在第二象限．又由①各边都加上π，得3π2＋2kππ－α2π＋2kπ(k∈Z)．∴π－α是第四象限角．同理可知，π＋α是第一象限角．(2)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合是{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．(3)∵θ＝168°＋k·360°(k∈Z)，∴θ3＝56°＋k·120°(k∈Z)．∵0°≤56°＋k·120°360°，∴k＝0,1,2时，θ3∈[0°，360°)．故在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角是56°，176°，296°.若α是第二象限角，则α2是第几象限的角？解：由α是第二象限的角，得k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z.(1)k·180°＋45°α2k·180°＋90°，k∈Z.①当k＝2n，n∈Z时，2n·180°＋45°α22n·180°＋90°，n∈Z，则α2是第一象限角；②当k＝2n＋1，n∈Z时，2n·180°＋225°α22n·180°＋270°，n∈Z，则α2是第三象限角．综合①，②可知α2是第一或第三象限角．热点之二扇形的弧长与面积涉及弧长和扇形面积的计算，可用的公式有角度和弧度两种表示方法，其中弧度表示的公式结构简单易记好用．弧长和扇形面积的核心公式是圆的周长公式C＝2πr和圆的面积公式S＝πr2，当用圆心角的弧度数α代替2π时，即可得到一般弧长和扇形面积公式l＝|α|r，S＝1/2|α|r2.[例2]已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积．[课堂记录](1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝π3，R＝10，∴l＝103π(cm)，S弓＝S扇－S△＝12·103π·10－12·102·sinπ3＝50π3－32(cm2)．(2)∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝C2＋α，∴S扇＝12α·R2＝12αC2＋α2＝C22α·14＋4α＋α2＝C22·14＋α＋4α≤C216.∴当α＝4α，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值C216.[思维拓展]涉及弧长和扇形面积的计算可用的公式有角度和弧度表示的两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．即时训练：已知扇形OAB的圆心角为4弧度，其面积为2平方厘米，求扇形周长和弦AB的长．解：设AmB的长为l，OA＝r，∵S扇形＝12lr，∴12lr＝2①又由已知lr＝4②由①②得r＝1，l＝4，∴扇形的周长为l＋2r＝4＋2×1＝6(cm)．如右图，作OH⊥AB于H，则AB＝2AH＝2rsin2π－42＝2rsin(π－2)＝2sin2(cm)．热点之三三角函数的定义1．已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．2．已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的值．[例3]已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[思路探究]本题求α的三角函数值．依据三角函数的定义，可在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，求出r，由定义得出结论．[课堂记录]∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t.r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|，当t0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34；当t0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.即时训练：已知角α的终边上一点的坐标为(sin5π3，cos5π3)，则角α的最小正值为()A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6答案：A解析：∵sin5π30，cos5π30，∴点(sin5π3，cos5π3)落在第二象限，又∵tanα＝cos5π3sin5π3＝－33，∴α＝π－π6＝5π6，故选A.热点之四三角函数的符号判定1．判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限．2．对于已知三角函数的符号判断角所在的象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在的象限．[例4](1)判断下列各式的符号：①sin340°·cos265°；②sin4·tan.(2)判断下列各式中角α的终边所在的象限．①sinα·tanα0；②tanα0且sinα＋cosα0.[思路探究]确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析因式的符号，则关键是看角所在的象限．[课堂记录](1)①∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin340°0，cos265°0，∴sin340°·cos265°0.②∵π432π，∴4弧度角是第三象限角．∵－234π＝－6π＋π4，∴－234π弧度角是第一象限角．∴sin40，tan－234π0，∴sin4·tan－234π0.(2)①∵sinαtanα0，∴sinα0，tanα0或sinα0，