高三数学试题

高三数学试题一．填空题：1.假设某10张奖券中有1张，奖品价值100元，有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值不少于其数学期望E的概率为.2.已知对任意的,00,,1,1xy，不等式22268210xxyyaxx恒成立，则实数a的取值范围为.3.在xOy平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y和1y围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过(0,)(||1)yy作的水平截面，所得截面面积为2418y，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为。4.已知()yfx是定义在上的增函数,且()yfx的图像关于点(6,0)对称.若实数x,y满足不等式22(6)(836)0fxxfyy,则22xy的取值范围___________.5.已知一玻璃杯杯口直径6cm,杯深8cm.如图所示,其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分,一个玻璃小球放入玻璃杯中,若小球能够碰到杯底,求小球半径的范围(不记玻璃杯的玻璃厚度).CPxOy二．选择题：6.已知O是ABC外接圆的圆心,A,B,C为ABC的内角,若coscos2sinsinBCABACmAOCB,则m的值为答[]A.1B.sinAC.cosAD.tanA7.已知点列,nnnAabnN均为函数0,1xyaaa的图像上，点列,0nBn满足1nnnnABAB，若数列nb中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（）（A）51510,,22（B）5151,11,22（C）31310,,22（D）3131,11,228.过圆22(1)(1)1Cxy：的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足|||,SSSS¥则直线AB有（）（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条三．解答题：9.已知直线2yx是双曲线2222:1xyCab的一条渐近线，点1,0,,0AMmnn都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O.（1）设点M关于y轴相交的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得?TPTQ若存在，求出点T的坐标;若不存在，请说明理由.（2）若过点0,2D的直线l与双曲线C交于R,S两点，且OROSRS，试求直线l的方程.xyOBCA10.已知双曲线22:12xCy,设过点(32,0)A的直线l的方向向量为(1,)ek.(1)当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时,求直线l的方程及l与m的距离;(2)证明:当22k时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为6.11.已知集合M是满足下列性质的函数()fx的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式()fkx＝2k＋()fx恒成立．（1）判断一次函数()fx＝ax＋b(a≠0)是否属于集合M；（2）证明函数()fx＝2logx属于集合M，并找出一个常数k；（3）已知函数()fx＝logax(a＞1)与y＝x的图象有公共点，证明()fx＝logax∈M．12.设函数)(xf和)(xg都是定义在集合M上的函数,对于任意的xM，都有))(())((xfgxgf成立，称函数)(xf与)(xg在M上互为“H函数”.（1）函数xxf2)(与xxgsin)(在M上互为“H函数”，求集合M；（2）若函数xaxf)((0aa且1)与1)(xxg在集合M上互为“H函数”,求证：1a；（3）函数2)(xxf与)(xg在集合1|{xxM且32kx，*Nk}上互为“H函数”，当10x时,)1(log)(2xxg，且)(xg在)1,1(上是偶函数,求函数)(xg在集合M上的解析式.13.设数列na的前n项和为nS，且21.nnnSaSnN（1）求出123,,SSS的值，并求出nS及数列na的通项公式；（2）设111nnnnbaanN，求数列nb的前n项和nT；（3）设1nncnanN，在数列nc中取出3mmNm且项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列nd，若对任意的数列nd，均有12ndddM，试求M的最小值.14.已知数列}{na的各项均为正数，其前n项的和为nS，满足nnapSp2)1(（*Nn），其中p为正常数，且1p．（1）求数列}{na的通项公式；（2）是否存在正整数M，使得当Mn时，7823741aaaaan恒成立？若存在，求出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若21p，设数列}{nb对任意*Nn，都有2123121ababababnnnn12121nabnn，问数列}{nb是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．15.已知抛物线)0(2:2ppxyC上横坐标为4的点到焦点的距离等于5。（1）求抛物线的方程。（2）设直线)0(kbkxy与抛物线交于两点),(),,(2211yxByxA，且)0(||21aayy，M是弦AB的中点，过M做平行于x轴的直线交抛物线于点D，得到ABD；在分别过弦BDAD,的中点作平行于x轴的直线交抛物线于点FE,，得到三角形BDFADE,；按此方法继续下去。解决如下问题：①求证：22)1(16kkba；②计算ABD的面积ABDS；③根据ABD的面积的计算结果，写出BDFADE,的面积；请设计一种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出封闭图形的面积。1.假设某10张奖券中有1张，奖品价值100元，有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值不少于其数学期望E的概率为32.2.已知对任意的,00,,1,1xy，不等式018216222ayxxyxx恒成立，则实数a的取值范围为]248,（.3.在xOy平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y和1y围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过(0,)(||1)yy作的水平截面，所得截面面积为2418y，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为。4.已知()yfx是定义在上的增函数,且()yfx的图像关于点(6,0)对称.若实数x,y满足不等式22(6)(836)0fxxfyy,则22xy的取值范围___________.解:由对称性可知(6)0f,由单调性可知6x时,()0fx;6x时,()0fx;由22836(4)206yyy,则266xx,结合草图可知2836yy到6的距离不超过比26xx到6的距离,即2283666(6)yyxx,整理得222268240(3)(4)1xyxyxy,其几何意义是以(3,4)为圆心,1为半径的圆(及其内部),而22xy即为该区域内点到原点距离的平方,结合图形可知,故其取值范围为[16,36].5.已知一玻璃杯杯口直径6cm,杯深8cm.如图所示,其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分,一个玻璃小球放入玻璃杯中,若小球能够碰到杯底,求小球半径的范围(不记玻璃杯的玻璃厚度).解:如图建系,抛物线方程为抛物线28,[3,3]9yxx,小圆与抛物线的接触点即为抛物线上到圆心C距离最短的点,由小球能碰到杯底,则有||||COCP,设(,)([3,3])Pxyx在抛物线上,设小球的半径为r,则圆心的坐标为(0,)Cr,22229||()(2),[0,3]8CPxyryryry,由min||||CPCO,即当0y时,||CP最小,故19(2)028r,所以9(0,]16r.CPxOy选择题：6.已知O是ABC外接圆的圆心,A,B,C为ABC的内角,若coscos2sinsinBCABACmAOCB,则m的值为答[B]A.1B.sinAC.cosAD.tanA解:不妨设外接圆的半径为1,如图建立直角坐标系,则有2,2AOBCAOCB,故可设(cos2,sin2)BCC,(cos(2π2),sin(2π2))CBB,结合诱导公式得(cos2,sin2)CBB,则(cos21,sin2),(cos21,sin2)ABCCACBB,由coscos2sinsinBCABACmAOCB,得coscos(cos21)(cos21)2sinsinBCCBmCB,又2cos212sinCC,2cos212sinBB,上式化为22coscos(2sin)(2sin)2sinsinBCCBmCB,整理得sincoscossinsin()sinmCBCBBCA,故选B.7.已知点列,nnnAabnN均为函数0,1xyaaa的图像上，点列,0nBn满足1nnnnABAB，若数列nb中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（B）（A）51510,,22（B）5151,11,22（C）31310,,22（D）3131,11,228.过圆22(1)(1)1Cxy：的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足|||,SSSS¥则直线AB有（）（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条三．解答题：9.已知直线2yx是双曲线2222:1xyCab的一条渐近线，点1,0,,0AMmnn都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O.（1）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在xyOBCA定点T，使得?TPTQ若存在，求出点T的坐标;若不存在，请说明理由.（2）若过点0,2D的直线l与双曲线C交于R,S两点，且OROSRS，试求直线l的方程.10.已知双曲线22:12xCy,设过点(32,0)A的直线l的方向向量为(1,)ek.(3)当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时,求直线l的方程及l与m的距离;(4)证明:当22k时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为6.(1)解:双曲线C的渐近线:02xmy,即20xy,直线l的方程为2320xy,直线l与m的距离为32612d.(2)证法一:设过原点且平行于l的直线:0bkxy,则直线l与b的距离232||1kdk,当22k时,6d,又双曲线C的渐近线方程为20xy,双曲线C的右支在直线b的右下方,双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于6,故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为6.证法二:假设双曲线右支上存在点00(,)Qxy到直线l的距离为6,则0022200|32|6,(1)122,(2)kxykkxy,由(1)得2003261ykxkk,设23261tk